《电动力学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 静电场 2.3 拉普拉斯方程、分离变量法

电动力学第二章第二章静电场

电动力学 第二章 第二章 静电场

电动力学第二章第三节拉普拉斯方程分离变量法分离变量法适用范围几种常用坐标系中拉普拉斯方程通解的形式应用分离变量法解题

电动力学 第二章 第三节 拉普拉斯方程 分离变量法 ⚫ 分离变量法适用范围 ⚫ 几种常用坐标系中拉普拉斯方程 通解的形式 ⚫ 应用分离变量法解题

电动力学第二章一、分离变量法适用范围1．求解区域中介质分区均匀，且自由电荷p=0，电势满足拉普拉斯方程√2の=0，区域表面及分界面形状规则，可用分离变量法求解拉普拉斯方程。2.求解区域电荷分布具有某种对称性，用高斯定理等简单方法可找到泊松方程V0=-P的特解の,由电势叠加='+"，即为界面上电荷激发的场，满足√？=0，再分离变量求解

电动力学 第二章 一、分离变量法适用范围 1. 求解区域中介质分区均匀，且自由电荷 ,电势满足拉普拉斯方 程 ,区域表面及分界面形状规则,可用分离变量法求解拉普拉 斯方程。 2  =  0  = 0 2. 求解区域电荷分布具有某种对称性,用高斯定理等简单方法可找到泊松 方程 的特解 ,由电势叠加 , 即为界面上电 荷激发的场,满足 ,再分离变量求解。 2     = −     = +   2  =   0

电动力学第二章在直角坐标系中：a"apap拉普拉斯方程V?p= 00Oy?ax?0z?p(x, y,z) = f (x)g(y)h(z)f"(x)g(y)h(z)+ f (x)g"(y)h(z)+ f (x)g(y)h"(z) = 0两边同除以p(x, y,z) = f (x)g(y)h(z)h"(2)f"(x)g"(y)0h(z)f(x)g(y)h"(z)f"(x)g"(y)=-k?=-k?-k22k+k,+k?=0h(z)f(x)g(y)

电动力学 第二章 在直角坐标系中: 拉普拉斯方程 2  =  0 222 2 2 2 0 x y z   + + =     ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z f x g y h z = f x g y h z f x g y h z f x g y h z    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = 0 两边同除以  ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z f x g y h z = 222 0 x y z kkk + + = ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) f x g y h z f x g y h z    + + = 2 ( ) ( ) x f x k f x  = − 2 ( ) ( ) y g y k g y  = − 2 ( ) ( ) z h z k h z  = −

电动力学第二章在直角坐标系中：拉普拉斯方程?β= 0k?+kj+k?=0[k?>0f(x) 三角函数k2<0f(x）指数函数或双曲函数f"(x)+k3f(x)= 0[k’=0 f(x)=C)x+C,故通解为p(x,y) =(A,x+ B.)(Coy+ D)+Z(A, sin k,x+ B,cosk,x)(C, sinhkny+D,cosh kny)2

电动力学 第二章 2 ( ) ( ) 0 x f x k f x  + = 2 0 ( ) x k f x  2 1 2 0 ( ) x k f x C x C = = + 三角函数 故通解为 0 0 0 0 1 ( , ) ( )( ) ( sin cos )( sinh cosh ) n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y   = = + + + + +  222 0 x y z kkk + + = 2 0 ( ) x k f x  指数函数或双曲函数 在直角坐标系中: 拉普拉斯方程 2  =  0

电动力学第二章二、拉普拉斯方程通解的形式>直角坐标系中的通解(x, y) =(Agx+ B.)(Coy+ D)+(A, sink,x+ B, cosk,x)(C, sinhk,y+D, coshk,y)n=l球坐标系中的通解i0(r,0)=Z (a,r" +)(cosO>圆柱坐标系中的通解p(r,0) = E[r"(A, sin no + B, cos n0)+ r-" (C, sin no + D, cos no)

电动力学 第二章 二、拉普拉斯方程通解的形式 ➢直角坐标系中的通解 1 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r    + = +  0 0 0 0 1 ( , ) ( )( ) ( sin cos )( sinh cosh ) n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y   = = + + + + +  ➢ 球坐标系中的通解 ➢ 圆柱坐标系中的通解 1 ( , ) ( sin cos ) ( sin cos ) n n n n n n n r r A n B n r C n D n        = − = +   + +   

电动力学第二章二、拉普拉斯方程通解的形式球坐标系中的通解0(r,0)=Z (a,r" + (cos0勒让德函数d"(x? -1)"nP,(cos0)= P,(x)dx"2"n!P,(x) = 1P,(x)= X = cosoP,(x) = =(3x2 - )

电动力学 第二章 球坐标系中的通解 1 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r    + = +  勒让德函数 2 ( 1) (c o s ) ( ) 2 ! n n n n n n n d x P P x n d x  − = =  0 P x ( ) 1 = 1 P x x ( ) c o s = =  2 2 1 ( ) (3 1) 2 P x x = − 二、拉普拉斯方程通解的形式

电动力学第二章例1半径为R的接地导体球，位于均匀外电场E中，求电势函数。解：建立如图球坐标系ZE显然球内电场为零，设球外电势为由对称性，=01,0），满足o:V20= 0A通解为：p(r,0)=E (a,r" +-)P,(cos0)n+n=0边界条件：r→o Φ=-Ercos0①r=R Φ=0②

电动力学 第二章 例1 半径为R的接地导体球，位于均匀外电场 E0 中，求电势函数。 E0 O 解: 建立如图球坐标系 z 显然球内电场为零，设球外电势为φ， 由对称性，    = （ r , ） ，满足 2  =  0 通解为: 1 0 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r     + = = +  边界条件: 0 cos 0 r E r r R    →  = − = = ① ②

电动力学第二章例1半径为R的接地导体球，位于均匀外电场E中，求电势函数。解：通解ZEnp(r.0)=Z(a,+),(cos0)n=0边界条件： r→8 β=-Ercos①o:r=R =0②AZa,r"P,(cos0)= -Egrcoso由①得n: α,=-E。 a,=0(nl)P,(x) = 1RP,(cos0)=0由②得-E,RcosO+Z-P(x)=coso: b =E.R3 b, =0(n±1)

电动力学 第二章 由①得 0 (cos ) cos n n n n  a r P E r   = − 由②得 0 1 cos (cos ) 0 n n n n b E R P R   + − + =  E0 O 解: 通解 z 1 0 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r     + = = +  边界条件: 0 cos 0 r E r r R    →  = − = = ① ② 0 P x ( ) 1 = 1 P x( ) cos =  1 0 0( 1) n  = − =  a E a n 3 1 0 0( 1) n  = =  b E R b n 例1 半径为R的接地导体球，位于均匀外电场 E0 中，求电势函数

电动力学第二章例1半径为R的接地导体球，位于均匀外电场E中，求电势函数。解：通解ZEg(.0)=≥(a.r+)(co)n=0边界条件： r→β=-EgrcosQo:r=R Φ=01解得：a, =-E。,α, =0(n±1),b, =ER3 b, = 0(n±1)0=-EgrcosO+E,r cos?均匀外场的势感应电荷的势

电动力学 第二章 3 0 0 2 cos cos E r E R r   = − +   均匀外场的势 感应电荷的势 E0 解: 通解 1 0 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r     + = = +  边界条件: 0 cos 0 r E r r R    →  = − = = 1 0 0( 1) n a E a n = − =  ， ， 3 1 0 0( 1) n b E R b n = =  解得: O z 例1 半径为R的接地导体球，位于均匀外电场 E0 中，求电势函数