《电动力学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 静电场 2.5 小结和习题例解

电动力学第二章第二章静电场小结一、静电场标势二、唯一性定理三、求解静电场边值问题四、静电场能量

电动力学 第二章 第二章 静电场小结 一、静电场标势 二、唯一性定理 三、求解静电场边值问题 四、静电场能量

电动力学第二章一、静电场标势E=-VQdo=-E.di物理意义V"β=-泊松方程(v2g= 0)C002a0边值关系88O2anan01

电动力学 第二章 E = − d E d l  = −  一、静电场标势 ( ) 2  φ = 0 2 ρ φ = ε  -   1 2 = 1 2 1 2 n n        − =   物理意义 泊松方程 边值关系

电动力学第二章二、唯一性定理唯一性定理a当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势ls或电势的法向导数anls给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。若区域内有导体存在，还需给定每个导体的电势?或每个导体所带自由电荷Q，此时解才唯一确定。场方程和边界条件给定时，场有唯一正确的解

电动力学 第二章 若区域内有导体存在，还需给定每个导体的电势 或每个导体所带自 由电荷Q，此时解才唯一确定。 当区域V内自由电荷和区域V的边界上电势 或电势的法向导数 给定时，则该区域内静电场的分布唯一确定。 S  n S    唯一性定理 场方程和边界条件给定时,场有唯一正确的解。 二、唯一性定理

电动力学第二章三、求解静电场边值问题（1）建立适当的坐标系：1.试探法（2）写出场方程：2.分离变量法（3）写出边界条件：3.镜像法（4）应用合适的方法求解。常见边界条件Op1）区域V的边界上电势或电势的法向导数onLIs00261622）绝缘介质界面上的边值关系ananP=P23）导体面上的电势=Papas-0=04）导体面上的总电荷SSOn

电动力学 第二章 三、求解静电场边值问题 （1）建立适当的坐标系； （2）写出场方程； （3）写出边界条件； （4）应用合适的方法求解。 1. 试探法 2. 分离变量法 3. 镜像法 常见边界条件 2）绝缘介质界面上的边值关系 1 2 1 2 1 2 n n =     =            3）导体面上的电势   = 0 4）导体面上的总电荷 d S S Q n  − =     1）区域V的边界上电势  S 或电势的法向导数 n S   

电动力学第二章四、静电场能量W=-E.D2E.DdVW=NpodlJV

电动力学 第二章 12 V W = E D dV   四、静电场能量 12 w = E D 12 V W = ρ φd V 

电动力学第二章第二章习题例解2.2在均匀外电场中放入半径为R的导体球，用分离变量法求下列两种情况下的申势。（1）导体球接电池，使球与地保持电势差Φ。。（2）导体球上带电荷Q。解（1）导体球接电池建立如图球坐标系。显然球内电场为零，设球外电势为，由对称性，。=01,0），满足7~0=

电动力学 第二章 第二章习题例解 2.2 在均匀外电场中放入半径为R的导体球，用分离变量法求下 列两种情况下的电势。 （1）导体球接电池，使球与地保持电势差 。 （2）导体球上带电荷Q。 0 解（ E0 1）导体球接电池 建立如图球坐标系。 显然球内电场为零，设球外电势为 φ，由对称性，    = （ r , ） ，满足 2  =  0

电动力学第二章b通解为 (r,0)=(an)P, (cos 0).n+1n=0边界条件为0l+, = -Egrcoso+go为球心对地电势2. 0 l=R = Φ由①得Za,r"P,(cos0)= -Egrcoso+ponα=。 α, =-E。 αn=0(n±0,1)由②得b0. Rco+ p,(coso): b。=(Φ。-P。)R b, = E.R3 b, = 0(n± 0,1)

电动力学 第二章 边界条件为 1 0 ( , ) ( ) (cos ) n n n n n n b r a r P r     + = 通解为 = +  0 0 1 . c o s r    E r →  = − + 0 2 . r R  = =  由①得 0 0 0 0 1 0 (cos ) cos 0( 0,1) n n n n n a r P E r a a E a n     = − +  = = − =   为球心对地电势 由②得 0 0 1 3 0 0 0 1 0 cos (cos ) ( ) R 0( 0,1) n n n n n b E R P R b R b E b n     + − +  =  − = =  

电动力学第二章E。R3(Φ。-P。)RR-E.rcoso+cosO2rA1?为坐标原点电势（由于电势零点选取造成）；(Φ。-P)R为电池使球面均匀带电产生的电势：2r3-E,rcosO为原外场电势；E,R3cosQ为导体球在外场作用下出现的感应电荷的电势。其中②④项的实际物理图象应为球面电荷在外场的作用下重新分布，球面总电荷由电池提供

电动力学 第二章 ① 为坐标原点电势（由于电势零点选取造成）； ② 为电池使球面均匀带电产生的电势； ③ 为原外场电势； ④ 为导体球在外场作用下出现的感应电荷的电势。 其中②④项的实际物理图象应为球面电荷在外场的作用下重 新分布，球面总电荷由电池提供。 3 0 0 0 0 0 2 ( ) R c o s c o s R E E r r r       − = + − + 0 0 0 ( )R r  −  0 − E r c o s  3 0 2 R cos E r 

电动力学第二章球面上电荷面密度为dp+36,E.cos0C=D-60arRr=R电池充电感应电荷Q=(,dS = ["α.2元Rsin0.Rd0 = 4元,R(Φ。- P。 )电池充电总电荷

电动力学 第二章 球面上电荷面密度为 0 0 0 0 0 0 3 c o s n r R D E r R        =   − = = − = +  0 0 0 0 2 sin 4 ( ) S Q d S R R d Q R         = =   =  −   电池充电 感应电荷 电池充电总电荷

电动力学第二章解（2）导体球带电建立如图球坐标系。E显然球内电场为零，设球外电势为Φ，满足2= 通解为-.-d9(r,0)=2 (a,r"+),(cos0)n=0边界条件为do1.0a.=-E,rcos0+0。2. -604.%.dS =Qr=R3. 0 l=R = C

电动力学 第二章 E0 解（2）导体球带电 建立如图球坐标系。 显然球内电场为零，设球外电势为φ， 满足  = 2  ，通解为 0 边界条件为 1 0 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r     + = = +  0 0 1 . c o s r    E r →  = − + 0 2 . S r R d S Q r   =  −  =   3 . r R  C = =