《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件）第2章 控制系统的数学模型 2.2 微分方程

第二章数学模型 2.2微分方程 2.2.1线性元件微分方程的建立 2.2.2线性系统微分方程的建立 2.2.3非线性特性的线性化 2.2.4微分方程的求解 Canad Germany

2. 2 微 分 方 程 2.2.1 线性元件微分方程的建立 第二章 数学模型 2.2.2 线性系统微分方程的建立 2.2.3 非线性特性的线性化 2.2.4 微分方程的求解

第二章数学模型 2.2.1线性元件微分方程的建立 (1)确定元件的输入、输出变量。 (2)从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出 原始方程式。 (3)消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微 分方程。 (4)标准化—将与输入有关的各项放在等号的右 边，与输出有关的各项放在等号的左边，各阶 导数按降幂排列

（1）确定元件的输入、输出变量。 （2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出 原始方程式。 （3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微 分方程。 （4）标准化——将与输入有关的各项放在等号的右 边,与输出有关的各项放在等号的左边，各阶 导数按降幂排列。 第二章 数学模型 2.2.1 线性元件微分方程的建立

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续） 例1.RC网络，W,为输入，W为输出，列微分方程。 解： Ri+u,ur ue i=C dt RC dt .(1 令TRC为时间常数，则有 dt +u=u, 一阶微分方程

例1. RC 网络， 为输入， 为输出，列微分方程。 r u c u R C i ur uc Ri + uc = ur =  idt C uc 1 dt du i C c = 线性元件的微分方程(续) 解： 令T=RC为时间常数，则有 c r c u u dt du T + = 一阶微分方程。 .(1) 第二章 数学模型 c r c u u dt du RC + =

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续 例2.R-L-C电路，u为输入，u为输出，列微分方程。 解：L正+Ri+=, cfid-i-c u d证 dt2 故LC du, ar? +RC 二阶微分方程 dt 令T= L I=C均为时间常数

例2．R-L-C 电路， ur 为输入， uc 为输出, 列微分方程。 Ri uc ur dt di L + + =  = → = dt du idt i C C u c c 1 2 2 dt d u C dt di c  = R L i r u c u 解： c r c c u u dt du RC dt d u LC + + = 2 2 故 二阶微分方程 线性元件的微分方程(续) T RC R L 令T1 = ， 2 = 均为时间常数 第二章 数学模型

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续 则有TT d'ue +T2 d +。=,.(2 d证 例3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。 当外力F(©作用时，系统将产生运 F() 动x()一位移。 m 解：在F()作用下，若弹簧恢复力和阻 尼器阻力之和与之不平衡，则质 量m将有加速度，并使速度和位 移改变。根据牛顿第二定律有：

(2) 2 2 2 1 2 c c uc ur  dt du T dt d u 则 有T T + + = 线性元件的微分方程(续) 例3. 弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。 当外力F(t)作用时，系统将产生运 动x(t) —位移。 解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻 尼器阻力之和与之不平衡，则质 量 m将有加速度，并使速度和位 移改变。根据牛顿第二定律有： 第二章 数学模型

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续） F(t)-F(t)-F2(t)=m 2 F(t)→弹簧恢复力 F() F(①→阻尼器阻力 m ↓x() 假设弹簧是线性的，则F(t)=c 假设阻尼器阻力与速度成正比，则 n F()=f Germany

假设弹簧是线性的，则    → → − − = (t) 阻尼器阻力 弹簧恢复力 2 1 2 2 1 2 F F t dt d x F t F t F t m ( ) ( ) ( ) ( ) F1 (t) = kx 线性元件的微分方程(续) 假设阻尼器阻力与速度成正比，则 dt dx F (t) = f 2 第二章 数学模型

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续 md'x,f dx +X= F(t) 二阶微分方程 k k dt 令T= 1 2√nmk 则2d2x dt2 +27 +x=KF(t).(③) dt 比较(2)、（③）式可以发现： 当两方程的系数相同时，从动态性能的角度看，两系统 是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研 究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行 普遍意义的分析研究

( ) 二阶微分方程 1 2 2 F t k x dt dx k f dt d x k m  + + = , 1 , 2 , k K mk f k m 令T =  = = 比较(2)、(3)式可以发现： 当两方程的系数相同时，从动态性能的角度看，两系统 是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研 究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行 普遍意义的分析研究。 2 ( ) 2 2 2 x KF t dt dx T dt d x 则T +  + = .(3) 线性元件的微分方程(续) 第二章 数学模型

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续 例4.枢控他励直流电机，输入4输出o。 负载 d,+E=, 解：Ri+. ① E=C.@ M=Cmi。 CURRENCY 电机轴上的动力学方程为：J _+fo=M-Mc dt

例4.枢控他励直流电机， 输入ua ，输出。 Ra  E ua M 负载 La + - a i a a a a E ua （1） dt di 解： R i + L + = E = Ce  m a M = C i 线性元件的微分方程(续) 第二章 数学模型 M Mc f dt d J +  = −  电机轴上的动力学方程为：

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续） 其中，了一转动惯量，f一粘性摩擦系数。 实际分析中常忽略阻尼力矩f0，六J do =M-M dt C,=J0+M,→，= Jdo M. dt C.dt C 则心 J do 1 dM dt C dt 将(2)、(3)式代入(1)式中有： +Co-u.-C dM.RaMe L Cm Cm dt

其中，J —转动惯量，f —粘性摩擦系数。 实际分析中常忽略阻尼力矩 f ， M Mc dt d J = −  线性元件的微分方程(续) （2） m c m m a c a C M dt d C J M i dt d C i = J + → = +   则 （3） 1 2 2 dt dM dt C d C J dt di c m m a = +  第二章 数学模型 将(2)、(3)式代入(1)式中有： c m c a m a e a m a m a M C R dt dM C L C u dt d C R J dt d C L J + +  = − −   2 2

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续 R J do +0= CmCe dt2 CuCe dt -Wa La dMe CuCe dt CmCe 令Tn= 一电枢回路的电磁时间常数 RJ 一电枢回路的机电时间常数 CCe 1 Kn= ,Kn=2 为传递系数 CURR d@+Tm+三K.w。-Km(T dM+M) d

c m e c a m e a a m e e a m e a M C C R dt dM C C L u dt C d C C R J dt d C C L J + + = − − 1 2 2    令 a a a R L T = — 电枢回路的电磁时间常数 线性元件的微分方程(续) — 电枢回路的机电时间常数 m e a m C C R J T = 第二章 数学模型 ( ) 2 2 c c a m m u a m a M dt dM K u K T dt d T dt d T T + + = − +   J T K C K m m e u = , = 1 — 为传递系数