《自动控制原理》课程教学资源（课件讲稿）第7章 线性离散控制系统_7.7 离散系统的稳态误差分析

7.7离散系统的稳态误差分析 系统的稳态误差是其稳态性能的度量，也是系统分析和设计的一 项重要指标。用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的 值。由于离散系统的脉冲传递函数与采样开关的配置有关，所以其稳 态误差的计算没有统一的公式，只能采用计算终值一Iime(nT)的方 11->00 法求得。只要离散系统是稳定的，就可用变换的终值定理求出采样 时刻的稳态误差。 CURREN

系统的稳态误差是其稳态性能的度量，也是系统分析和设计的一 项重要指标。用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的 值。由于离散系统的脉冲传递函数与采样开关的配置有关，所以其稳 态误差的计算没有统一的公式，只能采用计算终值— 的方 法求得。只要离散系统是稳定的，就可用z变换的终值定理求出采样 时刻的稳态误差。 lim e(nT) n

稳态误差分析（续） 设离散系统如图所示，系 r e(t) e"(t) c(t) G(s) 统的误差脉冲传递函数为： H(s) E(3) 1 Φ(3)= R(z) 1+GH() .E()= R(z) 1+GH(z) 若系统为单位反馈，则有 CURR Φ(2)= E(3 .E(3= R() R() 1+G(z 1+G(z)

1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) R z GH z E z z e     1 ( ) ( ) ( ) GH z R z E z    1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) R z G z E z z e     1 ( ) ( ) ( ) G z R z E z   

稳态误差分析（续） 根据变换的终值定理： e(oo)=lim e(nT)=lim(z-1)E() l→c0 z>1 KΠ(2-z) 设G,(2)=GH(z)= j-1 n-v (2-1)Π2-p) i=1 0=0,1,2.时称为0型，1型，2型.离散系统。 1、单位阶跃输入时的稳态误差 CURRENO R(z)= z-1

根据z变换的终值定理： ( ) lim ( ) lim( 1) ( ) 1 e e nT z E z n z                   n i i m j j k z z p K z z G z GH z 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) 设 ( ) ( ) υ= 0，1，2.时称为0型，1型，2型.离散系统。 1、单位阶跃输入时的稳态误差 , 1 ( )   z z  R z

稳态误差分析（续） c(o=m3-11+G,az-1 Z 1 z->1 lim- 11+G(a)1+G(1) $下，=四I1+G(3训=1+G0 静态位置误差系数 71 .( 1 K11-) 0型：K,=1+ IIa-p) e(co)=K ≠0

1 1 . 1 ( ) ( ) lim( 1) 1        G z z z e z k z lim[1 ( )] 1 (1) 1 k k z K p   G z   G  K p e 1  ()  , (1 ) (1 ) 1 1 1 1         n i i m j j p p K z K ） 0。 1 (   K p e 1 (1) 1 1 ( ) lim 1 k k z G z G z     

稳态误差分析（续） 1型及1型以上：K,=o.∴.e(o)=0. 2、单位斜坡输入时的稳态误差 T R()= (3-102 .".e(co)=lim T →1(z-11+G(2川 im(z-11+G.(z)小 2→1 T T lim(z-1)+lim(-1)G.()lim(-1)Gx() 2

K p  e()  0. , ( 1) ( ) 2   z zT  R z   ( 1)[1 ( )] lim( 1)[1 ( )] lim 1 1 z G z T z G z zT e k z k z           lim( 1) lim( 1) ( ) lim( 1) ( ) 1 1 1 z G z T z z G z T k z k z z         

稳态误差分析（续） ,=7e-1G, 静态速度误差系数 T z-→1 .'.e(oo)= K. 0型时：K.=0.e(∞)=∞ 1 1型时K,≠0。∴.e(o)= K 2型及2型以上：K,=o.∴.e(oo)=0 3、单位抛物线时的的稳态误差 CURRENCY R()= 2T2(3+1) 2(3-13

 0 Kv e()    0 Kv Kv e 1  ()  Kv   e()  0   , 2 1 ( 1) ( ) 3 2    z zT z  R z lim( 1) ( ) 1 1 z G z T K k z v    Kv e 1  () 

稳态误差分析（续） .e(co)=lim zT2(z+1) T2 →12(z-1)2[1+G(z im(z-1)2G,(z) z31 lim(z-1)2G.(z) 静态加速度误差系数 21 .e(o)= 1 Ko 0型、1型时：K。=0∴.e(oo)=o 1 2型时：K。≠0.e(o)= K 3型及3型以上时：K。=o.∴.(o)=0

 0 Ka e()    0 Ka Ka e 1  ()  Ka   e()  0 Ka e 1  ()    2( 1) [1 ( )] lim( 1) ( ) ( 1) lim 2 1 2 2 2 1 z G z T z G z zT z e k z k z           lim( 1) ( ) 1 2 1 2 z G z T K k z a   

稳态误差分析（续） 不同类型系统的稳态误差 给定输入 r(0=1e) r()=t 系统型别 @号 0型 1 00 00 1型 0 安 6 2型 0 0

结论 (1)系统的稳态误差除了与r(t)的形式有关外， 还直接取决于系统的开环脉冲传递函数G,(②)中 z=1的极点的个数，即)的数目。)反映了系 7=0 为有差系统 统的无差度 v=1为一阶无差系统 0=2 为二阶无差系统 (2若系统的开环传递函数G(s)具有k个极点，则 G()= 对应G,)= Ez-em

r(t) G z k z  1     0   1   2 G (s) k     k i i i k s s A G s 1 ( )    k i Ts i k i z e zA G z 1 ( )

结论（续烫 (②)若系统的开环递函数G,(S)具有k个极点，则 G)= 若Gs)有s=0的极点，则G,(亿)会出现 的项 ∴G.(s)有多少个极点G.(亿)便有多少个极点，并且 G.(s)有几个零值极点，G,(亿)就有几个z=1的极点。 (③)采样瞬时的稳态误差还与周期T有关： 成正比，而e(o)与K、K成反比， ∴.(o)与T、T成正比

G (s) k     k i i i k s s A G s 1 ( )    k i Ts i k i z e zA G z 1 ( ) G (s) k s  0 G (z) k z  1 z G (s)  k G (z) k G (s) k G (z) k z  1 e() T Kv、Ka 1  与 e() 2 Kv、Ka 1 T