《自动控制原理》课程教学资源（课件讲稿）第7章 线性离散控制系统_7.6 离散系统的稳定性分析

7.6离散系统的稳定性分析 7.6.1稳定的充要条件 7.6.2劳斯稳定判据 7.6.3朱利判据 CURRENC

7.6.1 稳定的充要条件 7.6.2 劳斯稳定判据 7.6.3 朱利判据

7.6离散系统的稳定性分析 7.6.1稳定的充要条件： △以虚轴为界 线性连续系统稳定的 充要条件是特征方程 的根全部位于左半平 稳定区 不稳定区 面上，稳定与不稳定 区域以虚轴为界

[s] j 0 稳定区 不稳定区 ∆ 以虚轴为界

离散系统的稳定性（续） 对于离散系统，若要得到系统稳定的充要条件， 应分析系 统的阶跃响应才是。 通过上节分析离散系统闭环极点分布与动态性能的关系可知： (1)当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态响 应是收敛的，系统是稳定的。 (2)当闭环极点位于单位圆外时，其对应的暂态响 应是发散的，系统是不稳定的

通过上节分析离散系统闭环极点分布与动态性能的关系可知： （1）当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态响 应是收敛的，系统是稳定的。 （2）当闭环极点位于单位圆外时，其对应的暂态响 应是发散的，系统是不稳定的

离散系统闭环极点分布与动态性能的关系 (3)当闭环极点位于单位圆上时，其对应的暂态响 应是等幅振荡的，系统仍是不稳定的。 不稳定区 稳定区 Re 0 △以单位圆为界 URREN

离散系统闭环极点分布与动态性能的关系 0 Re 1 -1 Im [z] 稳定区 不稳定区 Δ以单位圆为界 （3）当闭环极点位于单位圆上时，其对应的暂态响 应是等幅振荡的，系统仍是不稳定的

离散系统的稳定性（续） 充要条件： ①(z)= C(z) G() R(z) 1+GH() 特征方程为1+GH(2)=0 2,(亿=1,2，.n)为闭环脉冲传递函数的极点。 则离散系统稳定的充要条件： 所有入均位于平面上以原点为圆心的单位圆内， 即要求九，<1

 , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) GH z G z R z C z z     1  GH(z)  0 (i 1,2, n)  i    i  1。  i z

稳定的充要条件续 因此若能解出入即可知道系统稳定与否。 (1)当系统的闭环特征方程以因式的形式给出时， 可直接判 别其稳定性。 (2)当系统的闭环特征方程不是以因式的形式给出时，又分 以下两种情况： 1如果为一、二阶系统，也可直接解得特征根。 2如果为高阶系统，不易解得特征根，可用判据

 i

7.6.2劳斯稳定判据 对于线性离散系统不能直接应用劳斯判据，因为它只能判断系 统特征根是否在平面的左半部。 因此采用一种变换方法，使z平面上的单位圆映射为新坐标系 的虚轴。 这种坐标变换称为双线性变换，亦称为变换。 设：=”+w=*l w-1 是定义在[z平面上的复数， z-1 是定义在w]平面上的复数：

, 11   ww z , 11   zz w [z] [w] ；

稳定判据续 若z=x+,w=u+N, w=u+jv 1+x+龙-(x2+y2)-1 2y x-1+D(x-1)2+y2 (x-12+y 因为对于w平面上的p轴，实数u=0, x2+y2-1=0,所以x2+y2=1这就是1z]平面上 以原点为圆心的单位圆方程。 x2+y21,z平面的单位圆外，对应于[w] 平面的右半部(u>0)

若z  x  jy, w  u  jv, 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( ) 1 1 1 x y y j x y x y x jy x jy w u jv                [w] jv u  0, 1 [z] 2 2 1 0 x  y  2 2 x  y   1 2 2 x  y  [w] (u  0) 1 2 2 x  y  [w] (u  0)

稳定判据续 l [w] 映射 所以：-产片代入闭环离散系统的特征方程，进行变 换后得到P(w)=D(c以1=0，即可应用劳斯判据

u 0 jv [w] 1 1    w w z ( ) ( ) 0 1  1     w w z P w D z

稳定判据续) 用劳斯判据判别稳定性的步骤： 1)求出离散系统的特征方程 D(z)=1+GH(z)=0 2)令：=产代入DMg)=0中整理得到P心w)=0 3)应用劳斯判据： P(w)=0的根是否都位于[w的左半部。 CURRENC

P(w)  0 1 1    w w z D(z)  0 D(z)  1  GH(z)  0 P(w)  0 [w]