《自动控制原理》课程教学资源（课件讲稿）第7章 线性离散控制系统_7.4 离散系统的数学模型

7.4离散系统的数学模型 为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连续系统的数学模型 有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、脉冲响应函数及频率特 性等；而离散系统只有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达 式三种。本章只学习前两种，第三种将在《现代控制理论》中讲授。 7.4.1线性常系数差分方程 设输入序列为r(n)川r(nT)的简记，输出序列为c(n),且记作c(n)=Fr(nl。 若上式为线性关系，则称为线性离散系统，否则为非线性离散系统

7.4 离散系统的数学模型 为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连续系统的数学模型 有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、脉冲响应函数及频率特 性等；而离散系统只有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达 式三种。本章只学习前两种，第三种将在《现代控制理论》中讲授。 7.4.1 线性常系数差分方程 设输入序列为 的简记]，输出序列为 且记作 若上式为线性关系，则称为线性离散系统，否则为非线性离散系统

差分方程（续） 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常 离散系统。它可以用线性定常差分方程来描述。 1.差分 设连续函数为y(t),其采样函数为y(k), 其一阶前向差分：△y(k)=y(k+1)-Jy(k) 其二阶前向差分：△2y(k)=△I△y(k)引=△y(k+1)-y(k) =△y(k+1)-△y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k)

设连续函数为 ，其采样函数为 其一阶前向差分： 其二阶前向差分：

差分方程（续） 其一阶后向差分：Vy(k)=y(k)-y(k-1) 其二阶后向差分：V(k)=VLy(k)-J(k-1=(k)-(k-1) =y(k)-2y(k-1)+y(k-2) 2.差分方程 一般地，n时刻的c(n)不仅与r(n)有关，且与n时刻以前的 r(n-1)人r(n-2)人. 有关，还与c(n-1以c(n-2).有关

其一阶后向差分： 其二阶后向差分： 2. 差分方程

差分方程（续） 为此，可用阶前向差分方程来描述离散控制系统的输入输出关系： c(k+n)+ac(k+n-1)+.+an-c(k+1)+anc(k) =bor(k+m)+br(k+m-1)+.+bm-r(k+1)+bmr(k) 也可用n阶后向差分方程描述： c(k)+ac(k-1)+.+ac(k-n+1)+a,c(k=n) =bor(k)+br(k-1)++bmr(k-m+1)+bmr(k-m)

也可用n阶后向差分方程描述： 为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统的输入输出关系：

c(k+n)+a c(k+n-1)+.+anc(k+1)+ac(k) 3.差分方程的求解 bor(k+m)+br(k+m-1)+.+bm-ir(k+1)+bmr(k) 1)迭代法： 由前向阶差分方程可得输出序列的递推关系： c(k+m)=-Zae(k+n-i)+Zbjr(k+m-i) 由后向阶得c)=-∑a,c(k-)+6,rk-刀 i0 当已知输出序列的初值时，利用上述递推关系，可以逐步求出系 统在给定输入序列作用下的输出序列（用计算机最为方便）

差分方程（续） 例2：已知差分方程为c(k)=r(k)+5(k-1)-6c(k-2) 输入序列r=1,初始条件为c(0)=0,c(1)=1 试用迭代法求输出序列c(k):k=0,1,2,.,10。 解：根据初始条件及递推关系得： c(0)=0,c(1)=1,c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90 c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=301 c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=966 c(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=3025

差分方程（续） c(8)=r(8)+5c(7)-6c(6)=9330, c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=28501 c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=86526 2)z变换法： ■与连续系统用拉氏变换解微分方程一样，用z变换解差分方程。 ■ 先对差分方程两边求变换，使差分方程变为以为变量的代数方 程，得到C(3再求反变换可求得输出序列c)

例3：c(t+2T)+3c(t+T)+2c()=0,c(0)=0,c()=1: 解 差分方程为：c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0 两边求变换，用超前定理： z2C(z)-z2C(0)-zC1)+3zC(z)-3zC(0)+2C(z)=0 z2C(z)+3zC(3)+2C(3)=2 Ce)=2+3z+2(e+1+2列 7 Z z+1 z+2 ∴.c(k)=(-1)-(-2) 或c(0=∑(-1)”-(-2)15-nT)

7.4.2脉冲传递函数 线性连续系统理论中，将初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变 换与输入信号的拉氏变换之比定义为传递函数。对于线性离散系统， 可类似定义一种脉冲传递函数。 -c+() 1.定义 c() ，-G(z) 在线性离散系统中，把初始条件为零时，系统输出信号的变换与输 入信号的变换之比，定义为脉冲传递函数，或称☑传递函数，用G2 表示： G() C(3 R()

c+t 脉冲传递函数（续） G(s) c(t) .-1G2) 所谓零初始条件，是指t<0时输入脉冲序列的各采样值r(-T),r(-2T),: 以及输出脉冲序列的各采样值c(-T),c(-2T),.均为零。 实际上，多数离散控制系统的输出都是连续信号c(t),而不是离散的 采样信号(1)。在此情况下，可以在系统的输出端虚设一个理想采样 开关。它与输入采样开关同步动作，而且采样周期相同。 必须指出，在这种情况下，虚设的采样开关是不存在的，它只表明脉 冲传递函数所能描述的仅是输出连续信号c()的采样信号c()。 C(a .G(z) ∴.C(z)=G(z)R(z R(z）

n 所谓零初始条件，是指 时输入脉冲序列的各采样值 以及输出脉冲序列的各采样值 均为零。 n 实际上，多数离散控制系统的输出都是连续信号 ，而不是离散的 采样信号 。在此情况下，可以在系统的输出端虚设一个理想采样 开关。它与输入采样开关同步动作，而且采样周期相同。 n 必须指出，在这种情况下，虚设的采样开关是不存在的，它只表明脉 冲传递函数所能描述的仅是输出连续信号c(t) 的采样信号c *(t)