《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件）第二章 数学模型 2_2 微分方程

第二章数学模型 2.2微分方程 2.2.1线性元件微分方程的建立 2.2.2线性系统微分方程的建立 2.2.3非线性特性的线性化（自学 2.2.4微分方程的求解

2. 2 微 分 方 程 2.2.1 线性元件微分方程的建立 第二章 数学模型 2.2.2 线性系统微分方程的建立 2.2.3 非线性特性的线性化(自学) 2.2.4 微分方程的求解

第二章数学模型 2.2.1线性元件微分方程的建立 方程建立的一般步骤： (1)确定元件的输入、输出变量、引入中间变量。 (2)从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出 原始方程式。 (3)消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微 分方程。 Canad Germany

方程建立的一般步骤： （1）确定元件的输入、输出变量、引入中间变量。 （2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出 原始方程式。 （3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微 分方程。 第二章 数学模型 2.2.1 线性元件微分方程的建立

第二章数学模型 2.2.1线性元件微分方程的建立 (4)标准化一将与输入有关的各项放在等号的右 边，与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按 降幂排列。将系数整理为月 和输出有关， 义的形式。 且降阶排列 d"c(t) dn- c(t +0 dt" ta,c(t) dt d"r(t boi )bi d"-r(t) dr(t)br(t) m-1 dt 和输入有关， 且降阶排列

（4）标准化——将与输入有关的各项放在等号的右 边,与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按 降幂排列。将系数整理为具有一定物理意义的形式。 第二章 数学模型 2.2.1 线性元件微分方程的建立 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 a c t d t d c t a d t d c t a d t d c t a n n n n n n + + + + − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 b r t d t d r t b d t d r t b d t d r t b m m m m m m = + + + + − − −  和输出有关， 且降阶排列 和输入有关， 且降阶排列

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续） 例1.RC网络，u,为输入，u为输出，列微分方程。 解：Ri+u。=l, i=C d RC dt +u。=u, .(1 令TRC为时间常数，则有 CURREN T dt ,一阶微分方程

例1. RC 网络， 为输入， 为输出，列微分方程。 r u c u R C i ur uc c r R i + u = u dt du i C c = 线性元件的微分方程(续) 解： 令T=RC为时间常数，则有 c r c u u d t d u T + = 一阶微分方程。 .(1) 第二章 数学模型 c r c u u d t d u R C + =

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续） 例2.R-L-C电路，W为输入，4为输出，列微分方程。 解： +Ri+u。=u, dt i=C du. dt d d"ue dt 故LC d"u +RC dt 二阶微分方程 令T1=1 I,=RC均为时间常数

例2．R-L-C 电路， ur 为输入， uc 为输出, 列微分方程。 R i uc ur d t d i L + + = 2 2 d t d u C d t d i c  = R L i r u c u 解： c r c c u u d t d u R C d t d u L C + + = 2 2 故 二阶微分方程 线性元件的微分方程(续) T R C R L 令T1 = ， 2 = 均为时间常数 第二章 数学模型 dt du i C c =

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续 则有TT d-uc+T2 dt? 2+=4,.(2） dt 例3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。 当外力F(©作用时，系统将产生运 F() 动x()一位移。 m 解：在F()作用下，若弹簧恢复力和阻 尼器阻力之和与之不平衡，则质 量m将有加速度，并使速度和位 移改变。根据牛顿第二定律有：

(2) 2 2 2 1 2 c c uc ur  d t d u T d t d u 则 有T T + + = 线性元件的微分方程(续) 例3. 弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。 当外力F(t)作用时，系统将产生运 动x(t) —位移。 解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻 尼器阻力之和与之不平衡，则质 量 m将有加速度，并使速度和位 移改变。根据牛顿第二定律有： 第二章 数学模型

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续） d2x F(t)-F(t)-F2(t)=m dt2 F(t)→弹簧恢复力 F(①) F(①)→阻尼器阻力 m F2() ↓x() 假设弹簧是线性的，则F,(t)=kx 假设阻尼器阻力与速度成正比，则 HAMATAT dx F2(t)= 其中，为弹簧弹性系数 dt 为阻尼器阻尼系数

假设弹簧是线性的，则    → → − − = (t) 阻尼器阻力 弹簧 恢复力 2 1 2 2 1 2 F F t dt d x F t F t F t m ( ) ( ) ( ) ( ) F (t ) = k x 1 线性元件的微分方程(续) 假设阻尼器阻力与速度成正比，则 dt dx F (t) = f 2 第二章 数学模型 F1(t) F2(t) 其中，k为弹簧弹性系数 f为阻尼器阻尼系数

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续） m d'x f dx dt 什么物理 意义？ 令T= 5= 2√m 则r22x +25T dx +x=KF(t) dt du +。=1.(2 RLC电路

( ) 二阶微分方程 1 2 2 F t k x d t d x k f d t d x k m  + + = , 1 , 2 , k K m k f k m 令T =  = = 2 ( ) 2 2 2 x K F t d t d x T d t d x 则T +  + = .(3) 线性元件的微分方程(续) 第二章 数学模型 什么物理 意义？ (2) 2 2 2 1 2 c c uc ur  dt du T dt d u T T + + = RLC电路

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续 比较(2、（③）式可以发现： 当两方程的系数相同时，两系统的微分方程相同， 说明它们具有相同的内在规律，相同的运动方程形 式，称它们为相似系统。 利用相似系统的概念，可以将一个系统上得到的 分析结果或实验结论推广到和它相似系统上，这就 可以利用简单易实现的电气系统来模拟机械系统进 行实验研究；另一方面，对系统理论来说，就有可 能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究

比较(2)、(3)式可以发现： 线性元件的微分方程(续) 第二章 数学模型 当两方程的系数相同时，两系统的微分方程相同， 说明它们具有相同的内在规律，相同的运动方程形 式，称它们为相似系统。 利用相似系统的概念，可以将一个系统上得到的 分析结果或实验结论推广到和它相似系统上，这就 可以利用简单易实现的电气系统来模拟机械系统进 行实验研究；另一方面，对系统理论来说，就有可 能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究

第二章数学模型 线性元件的微分方程（续 相似系统 一 具体系统1 抽象 具体系统2 类数学模型 分析得出结论 1 本课程主要在该层面分析 具体系统n 解决共性问题 Germany

线性元件的微分方程(续) 第二章 数学模型 具体系统1 具体系统2 具体系统n 相似系统 一类数学模型 分析得出结论 解决共性问题 抽象 本课程主要在该层面分析