《自动控制原理》课程教学资源（课件讲稿）拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

学习内容 ·拉普拉斯变换的定义及常见信号的拉氏变换； 拉普拉斯变换的基本性质； 。拉普拉斯反变换；

学习内容 • 拉普拉斯变换的定义及常见信号的拉氏变换； •拉普拉斯变换的基本性质； • 拉普拉斯反变换；

一、拉普拉斯变换的定义 傅里叶变换知识回顾 F(j)=lim F,T=f(t)e 'dt ()-Fjo)o'd 函数)的傅里叶变换存在的充分条件： f(dt

傅里叶变换知识回顾 一、 拉普拉斯变换的定义      F j  F T  f t t j t n T ( ) lim ( ) e d           ( ) e d 2 1 ( ) j t f t F j 函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:    f (t) dt  

一、拉普拉斯变换的定义 1、拉普拉斯变换的由来 (1)引入拉式变换的原因一问题的提出 ①有些重要信号不存在傅里叶变换，如按指数增长的信 号； ②对于给定初始状态的线性系统也难以用傅里叶变换这 种频域分析法解决。 (2)解决办法一引入衰减因子eo(o为常数)乘信 号f(),根据不同信号的特征，适当选取σ的值，使 f(t)eot当t→士∞时信号幅度趋近于0，从而使积 分收敛

1、拉普拉斯变换的由来 （1）引入拉式变换的原因——问题的提出 ①有些重要信号不存在傅里叶变换，如按指数增长的信 号； ②对于给定初始状态的线性系统也难以用傅里叶变换这 种频域分析法解决。 （2）解决办法—— 引入衰减因子 乘信 号f (t)，根据不同信号的特征，适当选取 的值，使 当t→±∞时信号幅度趋近于0，从而使积 分收敛。 ( ) t e    为常数  ( ) t f t e 一、拉普拉斯变换的定义

exp(t) exp(t)"exp(-2t) 150 0.9 100 07 6 0.5 50 0.3 0.2 0.1 0

F+j)=FIf(t)e]=f(t)di=)dt 相应的傅里叶逆变换为 f()e-F-IF(+jo)I=-[F(a+j)ed 2元 上式两边同乘以e (F(+d[F(j)ddo 2元 令s=o+jm.=% 有

相应的傅里叶逆变换 为                 ( ) e d 2 1 ( ) [ ( )] t 1 j t f t e F F j F j F j F f t e f t t f t t t t j t j t ( ) [ ( ) ] ( )e e d ( )e d ( )                                         ( ) e d 2 1 ( ) e d 2 1 ( ) j t t ( j )t f t F j e F j 上式两边同乘以 t e  令 有 j ds s   j,d

F(s)=[f(t)e"dt e'd F(s):为s的函数称为)的双边拉普拉斯变换（象函 数)； ):称为Fs)的双边拉普拉斯逆变换（原函数）。 S=σ+j0一复频率，其中O、0均为实数

- ( ) ( )e d 1 ( ) ( )e d 2 st j st j F s f t t f t F s s j                   F( s ) : 为s的函数,称为f(t)的双边拉普拉斯变换(象函 数)； f(t) : 称为F(s)的双边拉普拉斯逆变换(原函数)。 s =  + j ——复频率，其中   、 均为实数

通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，0 2t ia-jc

通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为      0 F(s) f (t)e dt s t 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。               j j ( ) e d 0 2 j 1 0 0 ( ) F s s t t f t s t

拉普拉斯变换用符合简记为 拉氏变换与反变换 F(s)=L[f()] t)=L1[F(s)] 拉氏变换对： 孔t)>Fs) 举例： 电压：(t)分U叭s) 电流：(t)→(s)

拉氏变换对： f( t )  F( s ) 举例： 电压 ： u( t )  U( s ) 电流 ： i( t )  I( s ) 拉普拉斯变换用符合简记为 拉氏变换与反变换 F( s )=L [ f (t) ] f( t )=L -1 [ F (s) ]

2收敛域(ROC)的概念 选择适当的。值才可能使式子F(s)=心ft)e"d 的积分收敛，即Fs)存在的条件为 f(te"t< f(t)et< o使得 lim f(t)e"=0 t0 成立的取值范围(Re(s)即为收敛域，此时f()的拉 普拉斯变换F(s)必然存在

选择适当的 值才可能使式子 的积分收敛，即F(s)存在的条件为  - 0 ( ) ( )e dst F s f t t     - 0 ( )e dst f t t      - - 0 ( )e e d t j t f t t          使得 - lim ( )e 0 t t f t     成立的取值范围（Re (s)）即为收敛域，此时f (t)的拉 普拉斯变换F (s)必然存在。 2 收敛域(ROC)的概念