北京大学：《群论一》课程教学资源（PPT讲稿）导论 group-theory-intro

《群论I》课程导论李新征北京大学物理学院凝聚态物理与材料物理所

《群论 I》课程导论 李新征 北京大学物理学院 凝聚态物理与材料物理所 1

四点说明口叫《群论》，原因很简单，有《群论Ⅲ》；有讲义：https://www.phy.pku.edu.cn/xzli/TEACHING.htm;口讲义的优缺点（网上不少评价，都对，今年会辅助一些ppt）；明年的秋季学期与张亿老师换课（这次是真的！教学相长）口四次作业，三次习题课。平时30%，期末70%。有微信群、有助教。2

四点说明  叫《群论I》，原因很简单，有《群论II》；  有讲义：https://www.phy.pku.edu.cn/xzli/TEACHING.htm；  讲义的优缺点（网上不少评价，都对，今年会辅助一些ppt）；  四次作业，三次习题课。平时30%，期末70%。有微信群、有助教。 2 明年的秋季学期与张亿老师换课（这次是真的！教学相长）

改进的尝试（第一步）：导言（跟网上不一样）不要认为我说的就是正确的，仅仅是个人看法（高校课堂）。口从数学发展的角度看《群论》；口物理上的贡献，物理、化学中的应用口我们应该如何学习《群论》？很多细节的讨论，大家课下看讲义就可以。3

改进的尝试（第一步）：导言  从数学发展的角度看《群论》；  物理上的贡献，物理、化学中的应用；  我们应该如何学习《群论》？ 3 （跟网上不一样）不要认为我说的就是正确的，仅仅是个人看法（高校课堂）。 很多细节的讨论，大家课下看讲义就可以

第一点：从数学发展的角度看群论物理学是自然科学的一个分支，也是物理学的所有分支中最基础的那个（本质、本源与哲学联系最紧）；数学是描述自然的语言，与哲学一起支撑起了近代科学（自然科学、社会科学）中的所有学科；物理学家，或许是所有的自然科学家中数学最好的那部分人（原则上）；●但很多时候，我们或许不能很自信地说上面那句话，原因很简单：我们物理（数学不分家）没学好。学好的话我们应该有信心说这句话！很多时候也不是我们的原因！（方法或教育方式有问题，Encouraging+学科理解）。方法对了，学起来实际上会很轻松！（宏观的视野）。4

第一点：从数学发展的角度看群论 4 ⚫ 物理学是自然科学的一个分支，也是物理学的所有分支中最基础的那个（本质、本源， 与哲学联系最紧）； ⚫ 数学是描述自然的语言，与哲学一起支撑起了近代科学（自然科学、社会科学）中的 所有学科； ⚫ 物理学家，或许是所有的自然科学家中数学最好的那部分人（原则上）； ⚫ 但很多时候，我们或许不能很自信地说上面那句话，原因很简单：我们物理（数学不 分家）没学好。学好的话我们应该有信心说这句话！ 很多时候也不是我们的原因！（方法或教育方式有问题，Encouraging+学科理解）。 方法对了，学起来实际上会很轻松！（宏观的视野）

第一点：从数学发展的角度看群论微积分、常微分方程、偏微分方程、算术、几何代数、解析几何复变函数、变分原理、泛函方法（公元前200年）（公元9-17世纪）（17、18世纪，延展至19世纪）非欧几何、拓扑、线性代数、有限群理论李群李代数（19世纪）（19世纪末至今）（我们先对数学发展进行一个回顾，回顾过程中就能意识到《群论》在数学中的位置了）。5

第一点：从数学发展的角度看群论 5 算术、几何 代数、解析几何 微积分、常微分方程、偏微分方程、 复变函数、变分原理、泛函方法 线性代数、有限群理论 非欧几何、拓扑、 李群李代数 （公元前200年） （公元9-17世纪） （17、18世纪，延展至19世纪） （19世纪） （19世纪末至今） （我们先对数学发展进行一个回顾，回顾过程中就能意识到《群论》在数学中的位置了）

算术最早，人们认识到的就是简单的数。像两河流域、古埃及、古希腊，还有我们的先民，都有结绳计数、算筹等发明。有理数，也在很早的时候就出现了。这个对应的数学形式是算术。它研究的，是数的性质及其运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累计起来，并加以整理，数学中最古老的一门分支就很自然地建立了。>这个分支也支撑了人类对自然的最早的认识。数学上所有之后的理论都是以算术为基础的。我们小学时代，数学课也叫算术课。这个和我们人类对数学的认识过程都是对应的。6

算术 ➢ 最早，人们认识到的就是简单的数。像两河流域、古埃及、古希腊，还有我们的先民，都有 结绳计数、算筹等发明。 ➢ 有理数，也在很早的时候就出现了。这个对应的数学形式是算术。它研究的，是数的性质及 其运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累计起来，并加以整 理，数学中最古老的一门分支就很自然地建立了。 ➢ 这个分支也支撑了人类对自然的最早的认识。数学上所有之后的理论都是以算术为基础的。 我们小学时代，数学课也叫算术课。这个和我们人类对数学的认识过程都是对应的 。 6

几何》后来，随着农业文明的进步，土地丈量促进了几何的发展。相应地在数学的发展上，除了相对简单的算术，儿何也得到发展。>需要指出的是，关于图的研究与关于数的研究从开始就是相互促进的，比如正方形对角线长度的测量带来了无理数。此外，天文、航海、以及这些应用中相关理论的提出也极大地促进了几何的发展。最初的几何，就是将规则的点、线、面、体的关系定量化。圆、椭圆、抛物线、各种多边形，在当时都是很难处理的几何问题。针对这些问题，人们也发展出穷竭法，这也是最早的极限的概念

几何 ➢ 后来，随着农业文明的进步，土地丈量促进了几何的发展。相应地在数学的发展上，除了相 对简单的算术，几何也得到发展。 ➢ 需要指出的是，关于图的研究与关于数的研究从开始就是相互促进的，比如正方形对角线长 度的测量带来了无理数。 ➢ 此外，天文、航海、以及这些应用中相关理论的提出也极大地促进了几何的发展。最初的几 何，就是将规则的点、线、面、体的关系定量化。圆、椭圆、抛物线、各种多边形，在当时 都是很难处理的几何问题。针对这些问题，人们也发展出穷竭法，这也是最早的极限的概念。 7

几何>西方，一批数学家以埃及的亚历山大城为中心活动，系统性的几何理论被欧几里得（Euclid，生活在公元前300年左右）总结为《几何原本》。这是人类历史上第一次从几条公设出发完成Elements的一个系统的理论。The frontispieceof Sir Henry Billingsley'sfirstEnglishversionofEuclid'sElements81570

几何 ➢ 西方，一批数学家以埃及的亚历山大城为中心活动，系统性的几何理论被欧几里得（Euclid， 生活在公元前300年左右）总结为《几何原本》。这是人类历史上第一次从几条公设出发完成 的一个系统的理论。 8

几何《几何原本》的影响是如此的巨大，以至于科学革命中像牛顿这样的人在做物理理论的时候，也是以《几何原本》为榜样，来进行构思的。>除了《几何原本》，阿波罗尼奥斯（ApolloniusofPerga，约公元前262一190年）的《圆锥曲线论》也是极具影响力的著作。抛物线烟锥面双曲线圆9

几何 ➢ 《几何原本》的影响是如此的巨大，以至于科学革命中像牛顿这样的人在做物理理论的时候， 也是以《几何原本》为榜样，来进行构思的。 ➢ 除了《几何原本》，阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262－190年）的《圆锥曲 线论》也是极具影响力的著作。 9

几何》之后，罗马帝国统治了泛地中海地区。公元四世纪，基督教被定为国教，古希腊式的学校遂渐被荒废数学也开始衰落。像帕普斯（Pappus，约300一350年）、塞翁（TheonofAlexandia，335一405年）、希帕蒂娅（Hypatia，约350一370年出生，415年去世）基本上就是最后几个具有广泛影响力的数学家，>现在，如果我们总结古希腊、古罗马时期算术、几何的发展的话，下面四个特点应该说是比较明显的1.数学成为了一门抽象的学科：2.一种先进的论证模式（演绎证明）建立3.算术规则基本搞清，几何学、三角学建立；4.一些萌芽中的高等数学的概念，比如极限，已经出现。中世纪的时候，欧洲的学校讲的基本就是这些。10

几何 ➢ 之后，罗马帝国统治了泛地中海地区。公元四世纪，基督教被定为国教，古希腊式的学校逐渐被荒废， 数学也开始衰落。像帕普斯（Pappus，约300－350年）、塞翁（Theon of Alexandia，335－405年）、 希帕蒂娅（Hypatia，约350－370年出生，415年去世）基本上就是最后几个具有广泛影响力的数学家。 ➢ 现在，如果我们总结古希腊、古罗马时期算术、几何的发展的话，下面四个特点应该说是比较明显的： 1. 数学成为了一门抽象的学科； 2. 一种先进的论证模式（演绎证明）建立； 3. 算术规则基本搞清，几何学、三角学建立； 4. 一些萌芽中的高等数学的概念，比如极限，已经出现。 中世纪的时候，欧洲的学校讲的基本就是这些。 10