《大学物理实验》课程教学资源（教案）莫尔效应及光栅传感器实验

莫尔效应及光栅传感实验几百年前，法国人莫尔发现一种现象：当两层被称作莫尔丝绸的绸子叠在一起时将产生复杂的水波状的图案，如薄绸间相对挪动，图案也随之幌动，这种图案当时称之为莫尔或者莫尔条纹。一般说，任何具有一定排列规律的几何图案的重合，均能形成按新规律分布的莫尔条纹图案。1874年，瑞利首次将莫尔图案作为一种计测手段，即根据条纹的结构形状来评价光栅尺各线纹间的间隔均匀性，从而开拓了莫尔计量学。随着时间的推移，莫尔条纹测量技术现已经广泛应用于多种计量和测控中。在位移测量、数字控制、伺服跟踪、运动比较、应变分析、振动测量，以及诸如特形零件、生物体形貌、服装及艺术造型等方面的三维计测中展示了广阔前景。例如广泛使用于精密程控设备中的光栅传感器，可实现优于1um的线位移和优于1"（1/3600度）的角位移的测量和控制。实验目的1.理解莫尔现象的产生机理2.了解光栅传感器的结构3.观察直线光栅、径向圆光栅、切向圆光栅的莫尔条纹并验证其特性4.用直线光栅测量线位移5.用圆光栅测量角位移实验原理1.莫尔条纹现象两只光栅以很小的交角相向叠合时，在相干或非相干光的照明下，在叠合面上将出现明暗相间的条纹，称为莫尔条纹。莫尔条纹现象是光栅传感器的理论基础，它可以用粗光栅或细光栅形成。栅距远大于波长的光栅叫粗光栅，栅距接近波长的光栅叫细光栅。直线光栅两只光栅常数相同的光栅，其刻划面相向叠合并且使两者栅线有很小的交角6，则由于挡光效应（光栅常数d>20um）或光的衍射作用（光栅常数d<10um），在与光栅刻线大致垂直的方向上形成明暗相间的条纹，如图1所示。e亮-暗亮2Ben2暗★亮暗亮暗亮图1直线光栅莫尔条纹若主光栅与副光栅之间的夹角为6，光栅常数为d，由图1的几何关系可得出相邻莫尔

莫尔效应及光栅传感实验 几百年前，法国人莫尔发现一种现象：当两层被称作莫尔丝绸的绸子叠在一起时将产生 复杂的水波状的图案，如薄绸间相对挪动，图案也随之幌动，这种图案当时称之为莫尔或者 莫尔条纹。一般说，任何具有一定排列规律的几何图案的重合，均能形成按新规律分布的莫 尔条纹图案。 1874 年，瑞利首次将莫尔图案作为一种计测手段，即根据条纹的结构形状来评价光栅 尺各线纹间的间隔均匀性，从而开拓了莫尔计量学。随着时间的推移，莫尔条纹测量技术现 已经广泛应用于多种计量和测控中。在位移测量、数字控制、伺服跟踪、运动比较、应变分 析、振动测量，以及诸如特形零件、生物体形貌、服装及艺术造型等方面的三维计测中展示 了广阔前景。例如广泛使用于精密程控设备中的光栅传感器，可实现优于 1μm 的线位移和 优于 1"（1/3600 度）的角位移的测量和控制。 实验目的 1. 理解莫尔现象的产生机理 2. 了解光栅传感器的结构 3. 观察直线光栅、径向圆光栅、切向圆光栅的莫尔条纹并验证其特性 4. 用直线光栅测量线位移 5. 用圆光栅测量角位移 实验原理 1. 莫尔条纹现象 两只光栅以很小的交角相向叠合时,在相干或非相干光的照明下，在叠合面上将出现明 暗相间的条纹，称为莫尔条纹。莫尔条纹现象是光栅传感器的理论基础，它可以用粗光栅或 细光栅形成。栅距远大于波长的光栅叫粗光栅，栅距接近波长的光栅叫细光栅。 直线光栅 两只光栅常数相同的光栅，其刻划面相向叠合并且使两者栅线有很小的交角 θ，则由于 挡光效应（光栅常数 d >20μm）或光的衍射作用（光栅常数 d <10μm），在与光栅刻线大致 垂直的方向上形成明暗相间的条纹，如图 1 所示。 d 亮 暗 亮 2B 暗 θ/2 亮 暗 亮 暗 亮 图 1 直线光栅莫尔条纹 若主光栅与副光栅之间的夹角为 θ，光栅常数为 d，由图 1 的几何关系可得出相邻莫尔

条纹之间的距离B为：d..dB = -(1)0~02sin2式中6的单位为弧度。由上式可知，当改变光栅夹角0，莫尔条纹宽度B也将随之改变。当两光栅的光栅常数不相等时，莫尔条纹方程及莫尔条纹间隔的表达式推导见附录1直线光栅的莫尔条纹有如下主要特性：1）同步性在保持两光栅交角一定的情况下，使一个光栅固定，另一个光栅沿栅线的垂直方向运动，每移动一个栅距d，莫尔条纹移动一个条纹间距B，若光栅反向运动，则莫尔条纹的移动方向也相反。2）位移放大作用当两光栅交角θ很小时，相当于把栅距d放大了1/0倍，莫尔条纹可以将很小的光栅位移同步放大为莫尔条纹的位移。例如当0=0.06度=元/3000弧度时，莫尔条纹宽度比光栅栅距大近于倍。当光栅移动微米量级时，莫尔条纹移动毫米量级。这样就将不便检测的微小位移转换成用光电器件易于测量的莫尔条纹移动。测得莫尔条纹移动的个数k就可以得到光栅的位移△L为AL=kd。3）误差减小作用光电器件获取的莫尔条纹是两光栅重合区域所有光栅线综合作用的结果。即使光栅在刻画过程中有误差，莫尔条纹对刻画误差有平均作用，从而在很大程度上消除栅距的局部误差的影响，这是光栅传感器精度高的重要原因。径向圆光栅径向圆光栅是指大量在空间均匀分布且指向圆心的刻线形成的光栅，相邻刻线之间的夹角α称为栅距角。图2a是径向圆光栅，图2b是两只栅距角相同（即αi=2=α），圆心相距2S的径向圆光栅相向叠合产生的莫尔条纹。1fa.径向圆光栅b.径向圆光栅莫尔条纹图2径向圆光栅及径向圆光栅莫尔条纹若两光栅的刻划中心相距为2S，在以两光栅中心连线为x轴，两光栅中心连线的中点为原点的直角坐标系中，莫尔条纹满足如下方程：S/tan° kα +1S1x?(2)tankα)tan ka径向圆光栅莫尔条纹方程的推导见附录2。径向圆光栅的莫尔条纹有如下特点：

条纹之间的距离 B 为：   d d B =  2 2sin （1） 式中 θ 的单位为弧度。由上式可知，当改变光栅夹角 θ，莫尔条纹宽度 B 也将随之改变。 当两光栅的光栅常数不相等时，莫尔条纹方程及莫尔条纹间隔的表达式推导见附录 1 直线光栅的莫尔条纹有如下主要特性： 1) 同步性 在保持两光栅交角一定的情况下，使一个光栅固定，另一个光栅沿栅线的垂直方向运动， 每移动一个栅距 d，莫尔条纹移动一个条纹间距 B，若光栅反向运动，则莫尔条纹的移动方 向也相反。 2) 位移放大作用 当两光栅交角 θ 很小时，相当于把栅距 d 放大了 1/θ 倍，莫尔条纹可以将很小的光栅位 移同步放大为莫尔条纹的位移。例如当 θ＝0.06 度＝π/3000 弧度时，莫尔条纹宽度比光栅栅 距大近千倍。当光栅移动微米量级时，莫尔条纹移动毫米量级。这样就将不便检测的微小位 移转换成用光电器件易于测量的莫尔条纹移动。测得莫尔条纹移动的个数 k 就可以得到光栅 的位移 ΔL 为 ΔL=kd。 3) 误差减小作用 光电器件获取的莫尔条纹是两光栅重合区域所有光栅线综合作用的结果。即使光栅在刻 画过程中有误差，莫尔条纹对刻画误差有平均作用，从而在很大程度上消除栅距的局部误差 的影响，这是光栅传感器精度高的重要原因。 径向圆光栅 径向圆光栅是指大量在空间均匀分布且指向圆心的刻线形成的光栅，相邻刻线之间的夹 角 α 称为栅距角。图 2a 是径向圆光栅，图 2b 是两只栅距角相同（即 α1=α2=α），圆心相距 2S 的径向圆光栅相向叠合产生的莫尔条纹。 a. 径向圆光栅 b. 径向圆光栅莫尔条纹 图 2 径向圆光栅及径向圆光栅莫尔条纹 若两光栅的刻划中心相距为 2S，在以两光栅中心连线为 x 轴，两光栅中心连线的中点 为原点的直角坐标系中，莫尔条纹满足如下方程： 2 2 2 2 tan tan 1 tan         +  =      + −    k S k k S x y （2） 径向圆光栅莫尔条纹方程的推导见附录 2。 径向圆光栅的莫尔条纹有如下特点：

1）当其中一只光栅转动时，圆族将向外扩张或向内收缩。每转动1个栅距角，莫尔条纹移动一个条纹宽度。用光电器件测得莫尔条纹移动的个数k就可以得到光栅的角位移△0-k。用径向圆光栅测量角位移具有误差减小作用。2）莫尔条纹是由上下2组不同半径，不同圆心的圆族组成。上半圆族的圆心位置为Ss0下半圆族的圆心位置为条纹的曲率半径为0.tankαtankαSVtan° kα +1tan ka3）k越大，莫尔条纹半径越小，条纹间距也越小，所以靠近传感器中心的莫尔条纹不易分辨，半径最小值为S。4）两光栅的中心坐标（S，0）和（-S，0）恒满足圆方程，所有的圆均通过两光栅的中心。切向圆光栅切向圆光栅是由空间分布均匀且都与一个半径很小的圆相切的众多刻线构成的圆光栅。当如图3a的两只切向圆光栅相向叠合时，两只光栅的切线方向相反。图3b是两只小圆半径相同，栅距角相同的切向圆光栅相向叠合产生的莫尔条纹。a.切向圆光栅b.切向圆光栅莫尔条纹图3切向圆光栅与切向圆光栅莫尔条纹两只小圆半径均为，栅距角均为的切向光栅相向同心叠合，其莫尔条纹满足的方程为:x2 +(3)切向圆光栅莫尔条纹方程的推导见附录3。切向圆光栅的莫尔条纹有如下特点：1）当其中一只光栅转动时，圆族将向外扩张或向内收缩。每转动1个栅距角，莫尔条纹移动一个条纹宽度。用光电器件测得莫尔条纹移动的个数k就可以得到光栅的角位移△-kα，用切向圆光栅测量角位移具有误差减小作用。2）莫尔条纹是一组同心圆环，圆环半径为R=2r/k，相邻圆环的间隔为△R=2r/kα。3）k越大，莫尔条纹半径越小，条纹间距也越小，所以靠近传感器中心的莫尔条纹不易分辨。2.光栅传感器

1) 当其中一只光栅转动时，圆族将向外扩张或向内收缩。每转动 1 个栅距角，莫尔条 纹移动一个条纹宽度。用光电器件测得莫尔条纹移动的个数 k 就可以得到光栅的角 位移 Δθ=kα。用径向圆光栅测量角位移具有误差减小作用。 2) 莫尔条纹是由上下 2 组不同半径，不同圆心的圆族组成。上半圆族的圆心位置为       k S tan 0, ，下半 圆族的 圆心位 置为       k S tan 0,－ 。条纹 的曲率 半径为   k S k tan tan 1 2 + 。 3) k 越大，莫尔条纹半径越小，条纹间距也越小，所以靠近传感器中心的莫尔条纹不 易分辨，半径最小值为 S。 4) 两光栅的中心坐标（S，0）和（-S，0）恒满足圆方程，所有的圆均通过两光栅的 中心。 切向圆光栅 切向圆光栅是由空间分布均匀且都与一个半径很小的圆相切的众多刻线构成的圆光栅。 当如图 3a 的两只切向圆光栅相向叠合时，两只光栅的切线方向相反。图 3b 是两只小圆半 径相同，栅距角相同的切向圆光栅相向叠合产生的莫尔条纹。 a. 切向圆光栅 b. 切向圆光栅莫尔条纹 图 3 切向圆光栅与切向圆光栅莫尔条纹 两只小圆半径均为 r，栅距角均为 α 的切向光栅相向同心叠合，其莫尔条纹满足的方程 为： 2 2 2 2       + = k r x y （3） 切向圆光栅莫尔条纹方程的推导见附录 3。 切向圆光栅的莫尔条纹有如下特点： 1) 当其中一只光栅转动时，圆族将向外扩张或向内收缩。每转动 1 个栅距角，莫尔条 纹移动一个条纹宽度。用光电器件测得莫尔条纹移动的个数 k 就可以得到光栅的角 位移 Δθ=kα，用切向圆光栅测量角位移具有误差减小作用。 2) 莫尔条纹是一组同心圆环，圆环半径为 R=2r/kα，相邻圆环的间隔为 ΔR=2r/k 2α。 3) k 越大，莫尔条纹半径越小，条纹间距也越小，所以靠近传感器中心的莫尔条纹不 易分辨。 2. 光栅传感器

光栅传感器由光源系统，光栅系统，光电转换及处理系统组成，如图4所示。GiG2LL光源监视器光电转换准直系统及处理1图4光栅传感器系统组成示意图光源系统给光栅系统提供照明。光栅系统主要用于产生各种类型的莫尔条纹，在实用的光栅传感器中，为了达到高测量精度，直线光栅的光栅常数或圆光栅的栅距角都取得很小，学生实验系统重在说明原理，为使视觉效果更直观，光栅常数或栅距角都取得比较大。光电转换及处理系统用于检测莫尔条纹的变化并经适当处理后转换为位移或角度的变换。在实用的光栅传感器中，光电器件检测到的莫尔条纹强度变化经细分电路处理，能分辨出若于分之一的条纹移动，经数字化后直接显示位移值或将位移量反馈到控制系统。学生实验系统重在说明原理，为使视觉效果更直观，我们用监视器将莫尔条纹放大后显示。仪器介绍仪器由主光栅基座、副光栅滑座、摄像头及监视器等组成，如图5所示。服件盘光橱传感实验仪1.主光栅基座2.副光栅滑座3.摄像头4.监视器图5实验装置结构图主光栅基座主光栅基座由主光栅板和位移装置构成，主光栅板上印有原理中介绍的三种光栅，如图6所示。转动百分手轮，滑块会带动副光栅滑座上的副光栅与主光栅产生相应位移。在实际的光栅传感器应用系统中，由莫尔条纹的移动量即可测量出位移量。在教学系统中，可由读数装置读取副光栅的移动距离，以便与由莫尔条纹测量出的位移量相比较。读数装置由直尺和百分手轮组成。主光栅和副光栅为可组装、开放式结构，可以使学生直观地了解光栅位移传感器的结构，通过摄像头从监视器上观察和测量条纹的相关特性

光栅传感器由光源系统，光栅系统，光电转换及处理系统组成，如图 4 所示。 图 4 光栅传感器系统组成示意图 光源系统给光栅系统提供照明。 光栅系统主要用于产生各种类型的莫尔条纹，在实用的光栅传感器中，为了达到高测量 精度，直线光栅的光栅常数或圆光栅的栅距角都取得很小，学生实验系统重在说明原理，为 使视觉效果更直观，光栅常数或栅距角都取得比较大。 光电转换及处理系统用于检测莫尔条纹的变化并经适当处理后转换为位移或角度的变 换。在实用的光栅传感器中，光电器件检测到的莫尔条纹强度变化经细分电路处理，能分辨 出若干分之一的条纹移动，经数字化后直接显示位移值或将位移量反馈到控制系统。学生实 验系统重在说明原理，为使视觉效果更直观，我们用监视器将莫尔条纹放大后显示。 仪器介绍 仪器由主光栅基座、副光栅滑座、摄像头及监视器等组成，如图 5 所示。 1.主光栅基座 2.副光栅滑座 3.摄像头 4.监视器 图 5 实验装置结构图 主光栅基座 主光栅基座由主光栅板和位移装置构成，主光栅板上印有原理中介绍的三种光栅，如图 6 所示。转动百分手轮，滑块会带动副光栅滑座上的副光栅与主光栅产生相应位移。在实际 的光栅传感器应用系统中，由莫尔条纹的移动量即可测量出位移量。在教学系统中，可由读 数装置读取副光栅的移动距离，以便与由莫尔条纹测量出的位移量相比较。读数装置由直尺 和百分手轮组成。主光栅和副光栅为可组装、开放式结构，可以使学生直观地了解光栅位移 传感器的结构，通过摄像头从监视器上观察和测量条纹的相关特性

温带乐口31.直尺2.百分手轮3.主光栅板图6主光栅基座副光橱滑座副光栅滑座由副光栅、可转动副光栅座及角度读数盘组成，如图7所示。副光栅安装于副光栅座，转动副光栅座可改变主副光之间的交角，其角度由角度读数盘读出。a1.读数位置2.摄像头3.角度读数盘4.副光栅5.视频接头图7副光栅滑座摄像头及监视器摄像头及监视器用于观察和测量莫尔条纹特性，由摄像头升降台、摄像头及监视器组成。摄像头升降台位于副光栅滑座上，用于调整摄像头的位置，以便在监视器中观察到清晰的条纹。摄像头升降台的调节方法：1）旋松调节图中的螺钉2，前后移动摄像头使其对准副光栅中间位置，然后紧固螺钉2.2）调节旋钮3使摄像头上下移动，改变监视器中图像大小，直至在监视器中观察到清晰的莫尔条纹。旋松旋钮1后转动旋钮4可以调节莫尔条纹在监视器上的倾斜角度，以便定标和测3）量，调整好角度后紧固旋钮1

1.直尺 2.百分手轮 3.主光栅板 图 6 主光栅基座 副光栅滑座 副光栅滑座由副光栅、可转动副光栅座及角度读数盘组成，如图 7 所示。副光栅安装 于副光栅座，转动副光栅座可改变主副光栅之间的交角，其角度由角度读数盘读出。 1.读数位置 2.摄像头 3.角度读数盘 4.副光栅 5.视频接头 图 7 副光栅滑座 摄像头及监视器 摄像头及监视器用于观察和测量莫尔条纹特性，由摄像头升降台、摄像头及监视器组成。 摄像头升降台位于副光栅滑座上，用于调整摄像头的位置，以便在监视器中观察到清晰 的条纹。 摄像头升降台的调节方法： 1) 旋松调节图中的螺钉 2，前后移动摄像头使其对准副光栅中间位置，然后紧固螺钉 2。 2) 调节旋钮 3 使摄像头上下移动，改变监视器中图像大小，直至在监视器中观察到清 晰的莫尔条纹。 3) 旋松旋钮 1 后转动旋钮 4 可以调节莫尔条纹在监视器上的倾斜角度，以便定标和测 量，调整好角度后紧固旋钮 1

图8摄像头升降台实验内容与步骤1.实验前准备工作打开仪器后面的电源开关，主光栅板的背光灯点亮。安装副光栅滑座，使副光栅滑座上的卡片插入读数装置滑块上的卡槽中。2.观察直线光栅的莫尔条纹特性安装好直线副光栅，使其0刻度线与角度读数盘0刻度大致对齐，摇动手轮，使直线主副光栅位置对齐。转动副光栅座，改变主副光栅之间的夹角0，观察莫尔条纹宽度的变化。转动手轮移动副光栅，观察莫尔条纹的移动方向。反向移动副光栅，观察莫尔条纹移动方向的变化，验证莫尔条纹的同步性及位移放大作用。3.利用直线光栅测量线位移安装摄像头，连接好视频接头，此时，若监视器关闭，则需按一下监视器旁边的监视器开关按钮，若一切正常，监视器上将显示主光栅的放大图像。按仪器介绍中的方法调整好摄像头。使主光栅和副光栅成一定夹角6，使监视器上出现约3条莫尔条纹图案。转动手轮，使副光栅滑座移动到主光栅基座最右端：然后反向转动手轮使副光栅沿轨道运动，莫尔条纹随之移动。每移动5个莫尔条纹，记录副光栅的位置于表1中。注意：为防止回程差对实验的影响，记录副光栅位置时，百分手轮须朝同一方向进行旋转。表1用直线光栅测量线位移05101520条纹移动数k副光栅位置读数La(mm)位移 △Lx=Lk-Lol3035404525条纹移动数k副光栅位置读数L(mm)位移 △Li=Lk-Lol计算k为5，10，15·时对应的位移△Lk，填入表1中。以k为横坐标，位移NL为纵坐标作图。若为线性关系，且直线斜率为d，即验证了关

图 8 摄像头升降台 实验内容与步骤 1. 实验前准备工作 打开仪器后面的电源开关，主光栅板的背光灯点亮。 安装副光栅滑座，使副光栅滑座上的卡片插入读数装置滑块上的卡槽中。 2. 观察直线光栅的莫尔条纹特性 安装好直线副光栅，使其 0 刻度线与角度读数盘 0 刻度大致对齐，摇动手轮，使直线主 副光栅位置对齐。 转动副光栅座，改变主副光栅之间的夹角 θ，观察莫尔条纹宽度的变化。 转动手轮移动副光栅，观察莫尔条纹的移动方向。反向移动副光栅，观察莫尔条纹移动 方向的变化，验证莫尔条纹的同步性及位移放大作用。 3. 利用直线光栅测量线位移 安装摄像头，连接好视频接头，此时，若监视器关闭，则需按一下监视器旁边的监视器 开关按钮，若一切正常，监视器上将显示主光栅的放大图像。按仪器介绍中的方法调整好摄 像头。 使主光栅和副光栅成一定夹角 θ，使监视器上出现约 3 条莫尔条纹图案。 转动手轮，使副光栅滑座移动到主光栅基座最右端，然后反向转动手轮使副光栅沿轨道 运动，莫尔条纹随之移动。每移动 5 个莫尔条纹，记录副光栅的位置于表 1 中。注意：为 防止回程差对实验的影响，记录副光栅位置时，百分手轮须朝同一方向进行旋转。 表 1 用直线光栅测量线位移 条纹移动数 k 0 5 10 15 20 副光栅位置读数 Lk(mm) 位移 ΔLk=|Lk–L0| 条纹移动数 k 25 30 35 40 45 副光栅位置读数 Lk(mm) 位移 ΔLk=|Lk–L0| 计算 k 为 5，10，15···时对应的位移 ΔLk，填入表 1 中。 以 k 为横坐标，位移 ΔLk为纵坐标作图。若为线性关系，且直线斜率为 d，即验证了关

系式AL=kd，说明可以由条纹移动数测量线位移。已知光栅常数值为d=0.500mm，将由直线斜率求出的光栅常数d与之比较，求相对误差。4.观察径向圆光榭的莫尔条纹特性由于监视器显示的是莫尔条纹局部放大图，为便于观察莫尔条纹全貌，先取下摄像头。安装好径向副光栅，调节两光栅中心距，使之出现莫尔条纹，观察莫尔条纹图案的对称性。摇动手轮改变两光栅中心距，观察圆半径的变化转动副光栅，观察莫尔条纹的移动方向。反向转动副光栅，观察莫尔条纹移动方向的变化。将你看到的莫尔条纹特性与实验原理中阐述的特性比较，加深理解。5.利用径向圆光概莫尔条纹测量角位移安装摄像头，调节摄像头的位置，让摄像头监视主副光栅接近边缘的地方，直到监视器上出现清晰的莫尔条纹。沿同一方向转动副光栅，每移动5个莫尔条纹记录副光栅的角位置于表2中。表2用径向圆光栅测量角位移05101520条纹移动数k副光栅角位置读数0()角位移△0==0k-0030354045条纹移动数k25副光栅角位置读数6()角位移△0元=0k-60计算0为5，10，15··时对应的角位移△0k，填入表2中。以k为横坐标，角位移△为纵坐标作图。若为线性关系，且直线斜率为α，即验证了关系式△-kα，说明可以由条纹移动数测量角位移。已知栅距角的准确值为c=1.0°，将由直线斜率求出的栅距角值α与之比较，求相对误差。6.观察切向圆光概莫尔条纹特性观察主、副光栅的切向是否相反。由于监视器显示的是莫尔条纹局部放大图，为便于观察莫尔条纹全貌，先取下摄像头。安装好切向副光栅，转动手轮使主副切向光栅基本同心，观察莫尔条纹图案的特性。转动副光栅，观察莫尔条纹的移动方向。反向转动副光栅，观察莫尔条纹移动方向的变化。将你看到的莫尔条纹特性与实验原理中阐述的特性比较，加深理解7.利用切向圆光栅莫尔条纹测量角位移安装摄像头，调节摄像头的位置，让摄像头监视主副光栅接近边缘的地方，直到监视器上出现清晰的莫尔条纹。沿同一方向转动副光栅，每移动5个莫尔条纹记录副光栅的角位置于表3中。表3用切向圆光栅测量角位移15条纹移动数k051020副光栅角位置读数6x()角位移以0=0k-00

系式 ΔLk=kd，说明可以由条纹移动数测量线位移。 已知光栅常数值为 d=0.500mm，将由直线斜率求出的光栅常数 d 与之比较，求相对误 差。 4. 观察径向圆光栅的莫尔条纹特性 由于监视器显示的是莫尔条纹局部放大图，为便于观察莫尔条纹全貌，先取下摄像头。 安装好径向副光栅，调节两光栅中心距，使之出现莫尔条纹，观察莫尔条纹图案的对称 性。摇动手轮改变两光栅中心距，观察圆半径的变化。 转动副光栅，观察莫尔条纹的移动方向。反向转动副光栅，观察莫尔条纹移动方向的变 化。 将你看到的莫尔条纹特性与实验原理中阐述的特性比较，加深理解。 5. 利用径向圆光栅莫尔条纹测量角位移 安装摄像头，调节摄像头的位置，让摄像头监视主副光栅接近边缘的地方，直到监视器 上出现清晰的莫尔条纹。 沿同一方向转动副光栅，每移动 5 个莫尔条纹记录副光栅的角位置于表 2 中。 表 2 用径向圆光栅测量角位移 条纹移动数 k 0 5 10 15 20 副光栅角位置读数 θk(º) 角位移 Δθk=θk–θ0 条纹移动数 k 25 30 35 40 45 副光栅角位置读数 θk(º) 角位移 Δθk=θk–θ0 计算 θ 为 5，10，15···时对应的角位移 Δθk，填入表 2 中。 以 k 为横坐标，角位移 Δθk为纵坐标作图。若为线性关系，且直线斜率为 α，即验证了 关系式 Δθ=kα，说明可以由条纹移动数测量角位移。 已知栅距角的准确值为 α=1.0º，将由直线斜率求出的栅距角值 α 与之比较，求相对误差。 6. 观察切向圆光栅莫尔条纹特性 观察主、副光栅的切向是否相反。 由于监视器显示的是莫尔条纹局部放大图，为便于观察莫尔条纹全貌，先取下摄像头。 安装好切向副光栅，转动手轮使主副切向光栅基本同心，观察莫尔条纹图案的特性。 转动副光栅，观察莫尔条纹的移动方向。反向转动副光栅，观察莫尔条纹移动方向的变 化。 将你看到的莫尔条纹特性与实验原理中阐述的特性比较，加深理解。 7. 利用切向圆光栅莫尔条纹测量角位移 安装摄像头，调节摄像头的位置，让摄像头监视主副光栅接近边缘的地方，直到监视器 上出现清晰的莫尔条纹。 沿同一方向转动副光栅，每移动 5 个莫尔条纹记录副光栅的角位置于表 3 中。 表 3 用切向圆光栅测量角位移 条纹移动数 k 0 5 10 15 20 副光栅角位置读数 θk(º) 角位移 Δθk=θk–θ0

2530354045条纹移动数k副光栅角位置读数（)角位移△0,=0k-00计算0为5，10，15··时对应的角位移△0k，填入表3中。以k为横坐标，角位移△为纵坐标作图。若为线性关系，且直线斜率为α，即验证了关系式△6ka，说明可以由条纹移动数测量角位移。已知栅距角的准确值为α=1.0°，将由直线斜率求出的栅距角值α与之比较，求相对误差。注意事项1.所有零配件需轻拿轻放，实验完成后需小心放回零件盒中。2.光栅片是玻璃材质，易碎，勿以硬物击之，同时避免摔碎。3.切勿用手触摸光栅表面。如果光栅被弄脏，建议用清水加少量的洗洁精清洗然后晾干。4.测量时应避免回程差。5.测量时应尽量避免光栅的垂直上方有其他直射光源

条纹移动数 k 25 30 35 40 45 副光栅角位置读数 θk(º) 角位移 Δθk=θk–θ0 计算 θ 为 5，10，15···时对应的角位移 Δθk，填入表 3 中。 以 k 为横坐标，角位移 Δθk为纵坐标作图。若为线性关系，且直线斜率为 α，即验证了 关系式 Δθ=kα，说明可以由条纹移动数测量角位移。 已知栅距角的准确值为 α=1.0º，将由直线斜率求出的栅距角值 α 与之比较，求相对误差。 注意事项 1. 所有零配件需轻拿轻放，实验完成后需小心放回零件盒中。 2. 光栅片是玻璃材质，易碎，勿以硬物击之，同时避免摔碎。 3. 切勿用手触摸光栅表面。如果光栅被弄脏，建议用清水加少量的洗洁精清洗然后晾 干。 4. 测量时应避免回程差。 5. 测量时应尽量避免光栅的垂直上方有其他直射光源

附录1：直线光栅莫尔条纹方程推导设主光栅与副光栅之间的夹角为0，主光栅光栅常数为d，副光栅光栅常数为d，按附图1建立直角坐标系，令n与m分别为两光栅的栅线序数，且通过原点的栅线n与m为0。y1dmd,4md.sine0附图1直光栅栅线方程几何示意图两光栅的栅线方程分别为：(1)x= nd,md,y=coto.x-(2)sine为求相邻莫尔条纹之间的距离B，先求两光栅栅线交点的轨迹。交点轨迹是由栅线的某一列序数（n，m）给定。一般情况下，交点连线由（n，m=n+k）序列给定，其中k是整数。今以m=n+k，n=x/di代入式（2），解得莫尔条纹方程的一般表达式为：d,kd,(3).coto.xsin 0d,.cose上式为一直线方程簇，每一个k对应一条条纹。由上式得到条纹的斜率为：d,cotetanp:(4)d,.cose莫尔条纹间距B为式（3）中相邻两个k值所代表的两直线之间的距离，其一般表达式为：d,-d,B=(5)Yd?+d,-2d,.d,.cos0当d=d2=d时，由式（5）可得：dB =(6)02sin 2

附录 1：直线光栅莫尔条纹方程推导 设主光栅与副光栅之间的夹角为 θ，主光栅光栅常数为 d1，副光栅光栅常数为 d2，按附 图 1 建立直角坐标系，令 n 与 m 分别为两光栅的栅线序数，且通过原点的栅线 n 与 m 为 0。 O sin md2 θ md2 d1 d2 x y (n,m) θ 附图 1 直光栅栅线方程几何示意图 两光栅的栅线方程分别为： nd1 x = （1）   sin cot md2 y =  x − （2） 为求相邻莫尔条纹之间的距离 B，先求两光栅栅线交点的轨迹。交点轨迹是由栅线的某 一列序数（n，m）给定。一般情况下，交点连线由（n，m=n+k）序列给定，其中 k 是整数。 今以 m=n+k，n=x/d1 代入式（2），解得莫尔条纹方程的一般表达式为：    sin cot cos 1 2 1 2 kd x d d y   −          = − （3） 上式为一直线方程簇，每一个 k 对应一条条纹。由上式得到条纹的斜率为：    cot cos tan 1 1 2           = − d d （4） 莫尔条纹间距 B 为式（3）中相邻两个 k 值所代表的两直线之间的距离，其一般表达式 为： 2 1 2 cos 2 2 2 1 1 2 + −    = d d d d d d B （5） 当 d1=d2=d 时，由式（5）可得： 2 2sin  d B = （6）

附录2：径向圆光栅莫尔条纹方程推导两只栅距角α相同的径向圆光栅组成光栅传感器，若两光栅的刻划中心相距2S，以两光栅中心连线为x轴，两光栅中心连线的中点为原点。与x轴重合的栅线n=0，则光栅O1、O2的栅线方程为：y= (x+ S)tannα(7)(8)y= (x-S)tanmα对光栅O2考虑栅线序号m=n+k，k为大于0的任意有理数，则可将式（8）改为：(9)y= (x- S)tan[(n + k)α]将式（9）中的三角函数用和差公式展开，从式（7）中解出tannα，代入式（9），整理后可求得莫尔条纹方程：2Sx2 + 12 -:y-S?=0(10)tankα或整理为：SS/tankα+1(11)tan kαtanka附录3：切向圆光栅莫尔条纹方程推导Ay(x, y)narcosna+附图2切向圆光栅栅线方程几何示意图设两块切向圆光栅，栅距角α相同，栅线分别切于半径为r与的两个小圆上，两光栅切线方向相反。以光栅中心为原点建立直角坐标系，令两块光栅的零号栅线平行于x轴（如附图2），则两光栅的栅线方程为：r(12)y=tannαx+cosnar2(13)y=tanmα·xcosma对光栅O2考虑栅线序号m=n+k，式（13）可改为：

附录 2：径向圆光栅莫尔条纹方程推导 两只栅距角 α 相同的径向圆光栅组成光栅传感器，若两光栅的刻划中心相距 2S，以两 光栅中心连线为 x 轴，两光栅中心连线的中点为原点。与 x 轴重合的栅线 n=0，则光栅 O1、 O2 的栅线方程为： y = (x + S)tann （7） y = (x − S)tan m （8） 对光栅 O2 考虑栅线序号 m=n+k，k 为大于 0 的任意有理数，则可将式（8）改为： y = (x − S)tan(n + k) （9） 将式（9）中的三角函数用和差公式展开，从式（7）中解出 tannα，代入式（9），整理 后可求得莫尔条纹方程： 0 tan 2 2 2 2 + −  y − S = k S x y  （10） 或整理为： 2 2 2 2 tan tan 1 tan         +  =      + −    k S k k S x y （11） 附录 3：切向圆光栅莫尔条纹方程推导 y r1 O x r2 nα n r cos 1 (x，y) mα 附图 2 切向圆光栅栅线方程几何示意图 设两块切向圆光栅，栅距角 α 相同，栅线分别切于半径为 r1 与 r2 的两个小圆上，两光 栅切线方向相反。以光栅中心为原点建立直角坐标系，令两块光栅的零号栅线平行于 x 轴（如 附图 2），则两光栅的栅线方程为：   n r y n x cos tan 1 =  + （12）   m r y m x cos tan 2 =  − （13） 对光栅 O2 考虑栅线序号 m=n+k，式（13）可改为：