北京大学：《群论一》课程教学资源（讲义）第七章 李群李代数初步

第七章李群李代数初步截至上一章结束，按北京大学物理学院研究生课程的教学规划，《群论I》需要覆盖的内容已基本覆盖。在北京大学物理学院研究生课程的教学计划中，紧跟《群论I》的课程是《群论II》，它对应的是李群李代数。相关教学既要进行数学理论的讲解，又要针对此部分理论在物理学中应用进行详细的说明。这些，我们在本教材的第一版中是完全没有涉及的。教材的第一版于2019年9月出版。出版后，因为讲授的方式相对简单，得到了一些读者的认可。在读者的反馈中，不少人提到希望加入一些关于李群李代数的介绍。于是，在2021年底，笔者开始着手对教材进行第二版修订，并特意增加本章。在物理学的学习过程中，帮助我们理解所学内容的物理内涵的一个利器是关于其发展史的介绍。本书序言中我们已经提到，像所有其它学科一样，群论的发展也有一个历史进程。本章，按这个习惯，我们先就群论课程中李群李代数这部分内容产生的历史背景进行一个简单的说明。基础，当然是有限群理论。它是18世纪末到19世纪中叶由Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813）、PaoloRuffini（鲁菲尼，1765-1822）、NielsHenrikAbel（阿贝尔，1802-1829）、EvaristeGalois（伽罗瓦，1811-1832）、ArthurCayley（凯莱，1822-1895）等人在利用置换群理解一元高次方程的求解的过程中产生的。到了十九世纪末，ArthurMoritzSchonflies（熊夫利，1853-1928）、Evgraf StepanovichFedorov（费多罗夫，1853-1919）将其应用至晶体结构的描述并发展出点群、空间群的概念。点群、空间群的理论在二十世纪初由CarlHermann（赫尔曼，1898-1961）、Charles-VictorMauguin（毛古因，1878-1958）进行了重新整理。同样，在十九世纪末、二十世纪初

第七章 李群李代数初步 截至上一章结束，按北京大学物理学院研究生课程的教学规划，《群论 I》 需要覆盖的内容已基本覆盖。在北京大学物理学院研究生课程的教学计划中，紧 跟《群论 I》的课程是《群论 II》，它对应的是李群李代数。相关教学既要进行 数学理论的讲解，又要针对此部分理论在物理学中应用进行详细的说明。这些， 我们在本教材的第一版中是完全没有涉及的。教材的第一版于 2019 年 9 月出版。 出版后，因为讲授的方式相对简单，得到了一些读者的认可。在读者的反馈中， 不少人提到希望加入一些关于李群李代数的介绍。于是，在 2021 年底，笔者开 始着手对教材进行第二版修订，并特意增加本章。 在物理学的学习过程中，帮助我们理解所学内容的物理内涵的一个利器是关 于其发展史的介绍。本书序言中我们已经提到，像所有其它学科一样，群论的发 展也有一个历史进程。本章，按这个习惯，我们先就群论课程中李群李代数这部 分内容产生的历史背景进行一个简单的说明。基础，当然是有限群理论。它是 18 世纪末到 19 世纪中叶由 Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813）、Paolo Ruffini（鲁菲尼，1765-1822）、Niels Henrik Abel（阿贝尔，1802-1829）、Évariste Galois（伽罗瓦，1811-1832）、Arthur Cayley（凯莱，1822-1895）等人在利用置换 群理解一元高次方程的求解的过程中产生的。到了十九世纪末，Arthur Moritz Schönflies（熊夫利，1853-1928）、Evgraf Stepanovich Fedorov（费多罗夫，1853- 1919）将其应用至晶体结构的描述并发展出点群、空间群的概念。点群、空间群 的理论在二十世纪初由 Carl Hermann（赫尔曼，1898-1961）、Charles-Victor Mauguin （毛古因，1878-1958）进行了重新整理。同样，在十九世纪末、二十世纪初

FerdinandGeorgFrobenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917）、WilliamBurnside（伯恩赛德，1852-1927）、IssaiSchur（舒尔，1875-1941）、AlfredYoung（杨，1873-1940）等人也将有限群理论进行了进一步的完善与发展。其中，最重要的改进是群表示论得到完善。之后，在量子力学诞生。这些理论在量子力学的研究中得到了广泛地应用。前六章我们基本上对这些内容都进行了讲解。除了这些有限群理论，从19世纪后半叶开始，还有一部分人在努力将有限群的理论推广至无限群。这时，非欧几何在JohannCarl FriedrichGauss（高斯，1777-1855）、GeorgFriedrichBernhardRiemann（黎曼，1826-1866）等人的推动下已成熟，拓扑学的一些基本概念也开始发展。二十世纪初，这部分理论在物理学的研究中也开始有所体现，比如HendrikAntoonLorentz（洛伦兹，1853-1928）、JulesHenriPoincare（庞加莱，1854-1912）AmalieEmmyNoether（诺特，18821935）的工作。在这个时期，DavidHilbert（希尔伯特，1862-1943）将希尔伯特空间概念的引入线性代数使其从早期求解线性方程组的工具成为一个更系统、适用性更广的数学理论，它在物理学的研究中也开始发挥作用（线性代数在量子力学中的应用就是一个典型的例子）。与之有关联的是在我们群论学科的发展方面上世纪20年代群表示论的成熟标志着有限群理论彻底成型（上段提到过）。而李群李代数理论的发展也是大致同期在这个历史背景下发生的。其中，HermannKlausHugoWeyl（1885-1955）等人开创性地引入规范的概念，为物理学的发展打1以希尔伯特命名的数学概念很多。据说有一次希尔伯特不得已问自己的同事什么是希尔伯特空间？他年轻时深受FclixKlcin（克莱因，1849-1925）赏识，被认为是哥廷根数学学派最合适的接班人。他也没有率负这种期待，与好友HermannMinkowski（闪可夫斯基，1864-1909）一道，延续了高斯、黎受、克菜因等前辈的辉煌，带出了外尔、冯.诺伊受、诺特、柯朗、魏格纳等后辈，并深深地影响了马克斯.玻恩等人。在将哥廷根大学地数学学派带到另一个高峰的同时，也对20世纪初的物理学革命做出了积极地贡献（广义相对论方面与爱因斯坦的讨论，以及通过玻恩及其学生们影响的量子论向量子力学的进化）

Ferdinand Georg Fröbenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917）、William Burnside（伯恩 赛德，1852-1927）、Issai Schur（舒尔，1875-1941）、Alfred Young（杨，1873-1940） 等人也将有限群理论进行了进一步的完善与发展。其中，最重要的改进是群表示 论得到完善。之后，在量子力学诞生。这些理论在量子力学的研究中得到了广泛 地应用。前六章我们基本上对这些内容都进行了讲解。 除了这些有限群理论，从 19 世纪后半叶开始，还有一部分人在努力将有限 群的理论推广至无限群。这时，非欧几何在 Johann Carl Friedrich Gauss（高斯， 1777-1855）、Georg Friedrich Bernhard Riemann（黎曼，1826-1866）等人的推动下 已成熟，拓扑学的一些基本概念也开始发展。二十世纪初，这部分理论在物理学 的研究中也开始有所体现，比如 Hendrik Antoon Lorentz（洛伦兹，1853-1928）、 Jules Henri Poincare（庞加莱，1854-1912）、Amalie Emmy Noether（诺特，1882- 1935）的工作。在这个时期，David Hilbert（希尔伯特，1862-1943）将希尔伯特空 间概念的引入线性代数使其从早期求解线性方程组的工具成为一个更系统、适用 性更广的数学理论 1 ，它在物理学的研究中也开始发挥作用（线性代数在量子力 学中的应用就是一个典型的例子）。与之有关联的是在我们群论学科的发展方面 上世纪 20 年代群表示论的成熟标志着有限群理论彻底成型（上段提到过）。而 李群李代数理论的发展也是大致同期在这个历史背景下发生的。其中，Hermann Klaus Hugo Weyl（1885-1955）等人开创性地引入规范的概念，为物理学的发展打 1 以希尔伯特命名的数学概念很多。据说有一次希尔伯特不得已问自己的同事什么是希尔伯特空 间？他年轻时深受 Felix Klein（克莱因，1849-1925）赏识，被认为是哥廷根数学学派最合适的接 班人。他也没有辜负这种期待，与好友 Hermann Minkowski（闵可夫斯基，1864-1909）一道，延 续了高斯、黎曼、克莱因等前辈的辉煌，带出了外尔、冯.诺伊曼、诺特、柯朗、魏格纳等后辈， 并深深地影响了马克斯.玻恩等人。在将哥廷根大学地数学学派带到另一个高峰的同时，也对 20 世纪初的物理学革命做出了积极地贡献（广义相对论方面与爱因斯坦的讨论，以及通过玻恩及其 学生们影响的量子论向量子力学的进化）

开了大门。上世纪后半叶，此理论在物理学中得到广泛应用，李群李代数更是成为粒子物理研究中的必需。至此，《群论I》、《群论I》的课程内容基本成型，其在物理学院的群论课程中的地位也基本奠定。因为专业背景的原因，非常系统地针对李群李代数部分的基础理论及其在粒子物理研究中的应用进行深入的讲解并不在笔者的能力范围内。本章撰写过程中的重点是将这些理论在历史上的发展进行一个简单的总结，专注于对多数读者而言比较容易吸收的内容，为学生继续选《群论I》的课程进行一些铺垫。在第二章，我们提到过达朗贝尔说的一句话：代数是慷概的，她往往会比对她的要求给出的更多（Algebra is generous,she often gives more than is asked of her）。实际上，从《几何原本》开始，很多数学的分支都具备这样的特点。从一个或几个公设（postulate）定义（definition）公共观念（commonnotion）或者公理（axioms）出发，推出一系列命题（proposition），这些命题中正确的就是定理（theorem）。进而，构建一个理论体系。这个理论体系，可以成为包括物理学在内的很多自然科学分支以及工程应用的工具。读者在对群论这门近世代数的分支的学习过程中，应该也可以体会到这种感觉。前面我们学习过有限群，在此基础上，人们很自然会想到还存在无限群，同时关于它肯定也有一套理论与应用。这2实际上，在上世纪20年代群论一方面作为纯数学发展如火如茶，另一方面也与物理学中前沿的量子理论产生了最初的碰撞。作为大学教师，笔者在讲授这些课程的时候有时会进行猜测。做这些猜测，是感觉有些事情从自己看到的材料来讲应该是有联系的。把这些猜测讲给学生，并不是为了八卦，而是觉得学生以其目前的知识储备与阅历，或许不会想到这些。笔者作为老师给了学生这些分析（逻辑上合理的分析），是希望学生多掌握一些学科发展规律，而不是课本上固定的知识点。有了对这些规律的认识，以后自己在做关键的学术判断（比如方向选择）的时候，多一些参考。以这里的情况为例，笔者会联想到杨武之先生是1928年获芝加哥大学博士学位、1929年入职清华大学数学系的。这些前沿的数学很可能通过杨武之先生在不久的将来影响到了少年时代的杨振宁先生，进而在后期深刻地影响了其学术生涯。在杨振宁先生总结的二十世纪的三个物理学关键词中（量子化、相位因子、对称性），与这个相关的就占了两个

开了大门 2 。上世纪后半叶，此理论在物理学中得到广泛应用，李群李代数更是 成为粒子物理研究中的必需。至此，《群论 I》、《群论 II》的课程内容基本成 型，其在物理学院的群论课程中的地位也基本奠定。 因为专业背景的原因，非常系统地针对李群李代数部分的基础理论及其在粒 子物理研究中的应用进行深入的讲解并不在笔者的能力范围内。本章撰写过程中 的重点是将这些理论在历史上的发展进行一个简单的总结，专注于对多数读者而 言比较容易吸收的内容，为学生继续选《群论 II》的课程进行一些铺垫。 在第二章，我们提到过达朗贝尔说的一句话：代数是慷慨的，她往往会比对 她的要求给出的更多（Algebra is generous, she often gives more than is asked of her）。 实际上，从《几何原本》开始，很多数学的分支都具备这样的特点。从一个或几 个公设（postulate）、定义（definition）、公共观念（common notion）或者公理 （axioms）出发，推出一系列命题（proposition），这些命题中正确的就是定理 （theorem）。进而，构建一个理论体系。这个理论体系，可以成为包括物理学在 内的很多自然科学分支以及工程应用的工具。读者在对群论这门近世代数的分支 的学习过程中，应该也可以体会到这种感觉。前面我们学习过有限群，在此基础 上，人们很自然会想到还存在无限群，同时关于它肯定也有一套理论与应用。这 2 实际上，在上世纪 20 年代群论一方面作为纯数学发展如火如荼，另一方面也与物理学中前沿的 量子理论产生了最初的碰撞。作为大学教师，笔者在讲授这些课程的时候有时会进行猜测。做这 些猜测，是感觉有些事情从自己看到的材料来讲应该是有联系的。把这些猜测讲给学生，并不是 为了八卦，而是觉得学生以其目前的知识储备与阅历，或许不会想到这些。笔者作为老师给了学 生这些分析（逻辑上合理的分析），是希望学生多掌握一些学科发展规律，而不是课本上固定的 知识点。有了对这些规律的认识，以后自己在做关键的学术判断（比如方向选择）的时候，多一 些参考。以这里的情况为例，笔者会联想到杨武之先生是 1928 年获芝加哥大学博士学位、1929 年入职清华大学数学系的。这些前沿的数学很可能通过杨武之先生在不久的将来影响到了少年 时代的杨振宁先生，进而在后期深刻地影响了其学术生涯。在杨振宁先生总结的二十世纪的三个 物理学关键词中（量子化、相位因子、对称性），与这个相关的就占了两个

套关于无限群的理论，按理说会复杂很多。在无限群中，存在两种情况：群元是可列的（也就是说群元与正整数集存在一一对应关系）、群元是连续的。前者虽然无限，但处理方式与有限群没有太多差异。与之形成鲜明对比的，是关于连续群的理论相比于有限群的理论要多很多新的内容。本节针对后者进行初步介绍。连续群中，李群是研究地最为清楚的一类。它是一种可以用实参数来表达的，具有流形性质的连续群。因为流形是建立在豪斯道夫（Hausdorff）空间这样一个具有分离性的拓扑空间上的，李群的定义要求其有流形的性质，那很自然它一定也是一种拓扑群。豪斯道夫空间中，任意一个有界的闭子集又是紧致的。因此，紧致这个概念在我们下面的讨论中也会出现。同时，拓扑群的一个特征就是群运算是连续的。也就是说其群元在进行乘法操作与求逆操作时，相应的映射为连续映射。在描述此连续映射的过程中，毫无疑问要基于开集、闭集、覆盖、极限等慨念，讨论像同胚、连通、同伦、同构这样的拓扑学（按梁灿彬、周彬老师的描述就是“橡皮膜上的几何学”的性质）的概念。因此，拓扑、微分流形这两门学科中的一些基本概念，比如开集、闭集、拓扑空间、极限点、开覆盖、紧致、连续映射、拓扑映射，将首先作为基础来进入我们的课程，来支撑后续拓扑李群只是连续群的一部分，具有微分流形的特质。有些连续群也不是李群，比如：以数的加法为群元乘法的有理数的集合就是连续群但不是李群。它无法用微分的形式来进行分析。换句话说，李群是一种具有很好的数学结构的群，可用微分的方式进行分析。这里我们关于连续的定义是通过把群元作为映射，然后基于连续映射来定义的。这与一些数学上的定义或许不同。如果大家读到这个例子感觉有问题，请耐心把本章看完，然后体会我们的逻辑4豪斯道夫空间根据FclixHausdorff（1868-1942）命名，是可分离的连续的拓扑空间。最典型的豪斯道夫空间是欧氏空间，基于其可以定义微分。5这种连续是拓扑意义上的连续，是基于连续映射定义的，离散群也可以具备这种性质，其具体意义我们后面会详细解释

套关于无限群的理论，按理说会复杂很多。 在无限群中，存在两种情况：群元是可列的（也就是说群元与正整数集存在 一一对应关系）、群元是连续的。前者虽然无限，但处理方式与有限群没有太多 差异。与之形成鲜明对比的，是关于连续群的理论相比于有限群的理论要多很多 新的内容。本节针对后者进行初步介绍。 连续群中，李群是研究地最为清楚的一类 3 。它是一种可以用实参数来表达 的，具有流形性质的连续群。因为流形是建立在豪斯道夫（Hausdorff）空间这样 一个具有分离性的拓扑空间上的 4 ，李群的定义要求其有流形的性质，那很自然 它一定也是一种拓扑群。豪斯道夫空间中，任意一个有界的闭子集又是紧致的。 因此，紧致这个概念在我们下面的讨论中也会出现。同时，拓扑群的一个特征就 是群运算是连续的。也就是说其群元在进行乘法操作与求逆操作时，相应的映射 为连续映射 5 。在描述此连续映射的过程中，毫无疑问要基于开集、闭集、覆盖、 极限等慨念，讨论像同胚、连通、同伦、同构这样的拓扑学（按梁灿彬、周彬老 师的描述就是“橡皮膜上的几何学”的性质）的概念。因此，拓扑、微分流形这 两门学科中的一些基本概念，比如开集、闭集、拓扑空间、极限点、开覆盖、紧 致、连续映射、拓扑映射，将首先作为基础来进入我们的课程，来支撑后续拓扑 3 李群只是连续群的一部分，具有微分流形的特质。有些连续群也不是李群，比如：以数的加法为 群元乘法的有理数的集合就是连续群但不是李群。它无法用微分的形式来进行分析。换句话说， 李群是一种具有很好的数学结构的群，可用微分的方式进行分析。这里我们关于连续的定义是通 过把群元作为映射，然后基于连续映射来定义的。这与一些数学上的定义或许不同。如果大家读 到这个例子感觉有问题，请耐心把本章看完，然后体会我们的逻辑。 4 豪斯道夫空间根据 Felix Hausdorff（1868-1942）命名，是可分离的连续的拓扑空间。最典型的豪 斯道夫空间是欧氏空间，基于其可以定义微分。 5 这种连续是拓扑意义上的连续，是基于连续映射定义的，离散群也可以具备这种性质，其 具体意义我们后面会详细解释

性质、流形性质、李群李代数性质的讨论的展开。领悟这些关系，需要读者针对这些概念反复阅读本章及相关教材的内容。在开始本章正式内容前，我们再次就撰写的内容的信息来源进行一个强调，以表示对前辈老师们的尊重。在本书第一版的前言部分，笔者曾强调过这个教材的内容大量参考了田光善老师的讲义、韩其智与孙洪洲老师的教材以及王宏利老师的讲义，是北京大学物理学院《群论I》多年来教学积累的一个总结。这些材料中，韩其智、孙洪洲老师的教材基本定义了我们教学的整体逻辑。在这次出版补充的本章内容中，我们也是基于这两位前辈合著的教材的第六章的基本内容与基本逻辑[6]，结合了北京师范大学物理系梁灿彬、周彬两位老师合著的《微分几何入门与广义相对论》的前两章的一些内容[25]、北京大学数学学院丘维声老师《群表示论》第六章的一些内容[26]、北京大学物理学院高崇寿老师的《群论及其在粒子物理中的应用》[27小、北京师范大学物理系周彬老师的线上课程《李代数理论及其在物理学中的应用》、北京大学物理学院刘玉鑫老师与王一男老师的李群李代数讲义来撰写的“。具体内容，分：曲面上的几何、拓扑空间、微分流形、李群、李代数共五节进行展开。6这里提到的多数老师都是前辈。王一男老师例外，是北京大学物理学院最近引进的一位极其出色的年轻人。笔者从其讲义中也学到很多。实际上，这些也仅仅是笔者了解到的北京大学物理学院《群论》课程在最近这些年的教学情况。更早的一些尝试，对后期的教学也都是值得记录与强调的。比如，一个很偶然的机会，笔者从华盛顿大学钱然老师那里了解到在上世纪50年代末，北京大学物理系的群论课程曾经由数学系的钱敏老师负责过一段时间。后来中科院理论物理所的苏肇冰老师（也是北京大学兼职教授）、北京大学物理系的高崇寿老师都是其班上的学生。钱敏老师担任物理系群论课程主讲教师这段历史在2003年北京大学物理学科90年纪念材料（未发行，内部材料）中有体现。8两位老师各有其讲义，其中刘玉鑫老师的讲义近期将由北京大学出版社出版

性质、流形性质、李群李代数性质的讨论的展开。领悟这些关系，需要读者针对 这些概念反复阅读本章及相关教材的内容。 在开始本章正式内容前，我们再次就撰写的内容的信息来源进行一个强调， 以表示对前辈老师们的尊重 6 。在本书第一版的前言部分，笔者曾强调过这个教 材的内容大量参考了田光善老师的讲义、韩其智与孙洪洲老师的教材以及王宏利 老师的讲义，是北京大学物理学院《群论 I》多年来教学积累的一个总结 7 。这些 材料中，韩其智、孙洪洲老师的教材基本定义了我们教学的整体逻辑。在这次出 版补充的本章内容中，我们也是基于这两位前辈合著的教材的第六章的基本内容 与基本逻辑[6]，结合了北京师范大学物理系梁灿彬、周彬两位老师合著的《微分 几何入门与广义相对论》的前两章的一些内容[25]、北京大学数学学院丘维声老 师《群表示论》第六章的一些内容[26]、北京大学物理学院高崇寿老师的《群论 及其在粒子物理中的应用》[27]、北京师范大学物理系周彬老师的线上课程《李 代数理论及其在物理学中的应用》、北京大学物理学院刘玉鑫老师与王一男老师 的李群李代数讲义来撰写的 8 。具体内容，分：曲面上的几何、拓扑空间、微分 流形、李群、李代数共五节进行展开。 6 这里提到的多数老师都是前辈。王一男老师例外，是北京大学物理学院最近引进的一位极其出 色的年轻人。笔者从其讲义中也学到很多。 7 实际上，这些也仅仅是笔者了解到的北京大学物理学院《群论》课程在最近这些年的教学情况。 更早的一些尝试，对后期的教学也都是值得记录与强调的。比如，一个很偶然的机会，笔者从华 盛顿大学钱纮老师那里了解到在上世纪 50 年代末，北京大学物理系的群论课程曾经由数学系的 钱敏老师负责过一段时间。后来中科院理论物理所的苏肇冰老师（也是北京大学兼职教授）、北 京大学物理系的高崇寿老师都是其班上的学生。钱敏老师担任物理系群论课程主讲教师这段历 史在 2003 年北京大学物理学科 90 年纪念材料（未发行，内部材料）中有体现。 8 两位老师各有其讲义，其中刘玉鑫老师的讲义近期将由北京大学出版社出版

7.1曲面上的几何这里我们说的曲面上的几何，指的是非欧几何。由于我们的基础教育（甚至包含多数高等教育）并不包含非欧几何的内容，人们往往会觉得与之相关的一些名词（比如本章不可能绕过的拓扑空间与微分流形）非常的高深与抽象。为了将读者带入，我们从一些简单的关于空间的概念出发来展开讨论。我们首先想说的是类似看起来复杂与高深的学术成就的诞生都是符合最直观、最简单的逻辑的。比如，我们都知道早期欧氏几何描述的是均匀的、可以无限扩展的三维空间的性质。而在古希腊的多数自然哲学体系中，人们认为地球是处在中心宇宙这个同心球体的中心的。比如，在亚里士多德的宇宙模型中，连续的、无限的直线运动是不被允许的，匀速圆周运动才是完美的[28]。这样，就不可避免地会带来一个逻辑上比较简单但非常值得思考的问题：当我们站到地面上的一点我们看到的是欧氏空间，但当我们把自己放在上帝视角去看这个同心球模型中的地球我们就会意识到地球上的某个人看到的欧氏空间是无法通过无限延展覆盖整个地球的球面的。考虑到这一点，后来人们对欧氏几何提出质疑就不足为奇了。此质疑过程中比较有代表性的是1826年俄罗斯数学家NikolaiIvanovichLobachevsky（罗巴切夫斯基，1792-1856）在喀山的一个数学家会议中宣读的他的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这里，他提"虽然地球是个球形的直接验证一直要等到16世纪初麦哲伦的环球航行，但考虑到早期人们航海时首先看到船帆这个生活经验、月球是圆的这个观测、以及球形在古希腊哲学中占据的重要位置，我们可以想象在很早的时候人们就有了地球是个球形这样一种认识。在很多古希腊的宇宙模型中，这点也都可以得到体现

7.1 曲面上的几何 这里我们说的曲面上的几何，指的是非欧几何。由于我们的基础教育（甚至 包含多数高等教育）并不包含非欧几何的内容，人们往往会觉得与之相关的一些 名词（比如本章不可能绕过的拓扑空间与微分流形）非常的高深与抽象。为了将 读者带入，我们从一些简单的关于空间的概念出发来展开讨论。 我们首先想说的是类似看起来复杂与高深的学术成就的诞生都是符合最直 观、最简单的逻辑的。比如，我们都知道早期欧氏几何描述的是均匀的、可以无 限扩展的三维空间的性质。而在古希腊的多数自然哲学体系中，人们认为地球是 处在中心宇宙这个同心球体的中心的。比如，在亚里士多德的宇宙模型中，连续 的、无限的直线运动是不被允许的，匀速圆周运动才是完美的[28]。这样，就不 可避免地会带来一个逻辑上比较简单但非常值得思考的问题：当我们站到地面上 的一点我们看到的是欧氏空间，但当我们把自己放在上帝视角去看这个同心球模 型中的地球我们就会意识到地球上的某个人看到的欧氏空间是无法通过无限延 展覆盖整个地球的球面的 9 。考虑到这一点，后来人们对欧氏几何提出质疑就不 足为奇了。 此质疑过程中比较有代表性的是 1826 年俄罗斯数学家 Nikolai Ivanovich Lobachevsky（罗巴切夫斯基，1792-1856）在喀山的一个数学家会议中宣读的他的 关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这里，他提 9 虽然地球是个球形的直接验证一直要等到 16 世纪初麦哲伦的环球航行，但考虑到早期人们 航海时首先看到船帆这个生活经验、月球是圆的这个观测、以及球形在古希腊哲学中占据的 重要位置，我们可以想象在很早的时候人们就有了地球是个球形这样一种认识。在很多古希 腊的宇宙模型中，这点也都可以得到体现

出如果将欧氏几何中的第五条公设去除10，基于前面的几条公设还是可以构建一个几何体系。但遗憾的是此理论在当时并没有被人们接受。1853年，哥廷根大学数学系教授高斯建议他的学生黎曼在其教授资格考试（Habilitation）中以非欧几何为题目完成资格考试论文。基于此建议，黎曼将此论文题目定为《Onthehypotheseswhichunderliegeometry》“"。此后，非欧几何正式在主流学界被广泛接受。黎曼的主要研究对象是椭球球面，在这个过程中，他引入了流形（英文是manifold，意思是多褶皱，江泽涵先生按“天地有正气，杂然赋流形”进行翻译，信达雅兼顾）的概念，来描述类似基于曲面的几何。在描述这个曲面的几何时，平行线公设是不需要的。就像图7.1中的地球，如果我们画一个很大的三角形，则在局域的视角我们认为相互平行的两条经线，在全局视角看来是可以相交的。图中这个三角形的内角和也不是180度。黎曼几何很好地利用了欧氏空间的性质，把复杂的曲面分成很多封闭的区域的集合。类似封闭的区域的集合称为图卡（Atlas，有时也翻译为坐标图卡、图集、图汇）12。每个区域对应的局部空间（开集），与欧氏空间这种完全没有扭曲的空间的开集在结构上对应13。因此，可以10欧氏几何是一个由五条公设（postulates）、五条公理（commonnotions）出发建立的几何体系。11对德国学者，在其学术生涯中正常情况下是要完成两个论文的。一个是其博士学位论文，一个是其教投资格考试论文。12这里要感谢北京大学数学学院的周珍楠教授。之前笔者一直找不到合适的翻译，他给了一个很全面的回答。13这种对应被称为mapping。其词根，与大地测量中的map是相关的。按周彬老师线上课程的讲述，在19世纪上半叶，高斯因为接到一个画地图的任务，便开始对这方面的问题进行思考了。笔者认同此说法，因此这里写下来供读者参考

出如果将欧氏几何中的第五条公设去除 10，基于前面的几条公设还是可以构建一 个几何体系。但遗憾的是此理论在当时并没有被人们接受。1853 年，哥廷根大学 数学系教授高斯建议他的学生黎曼在其教授资格考试（Habilitation）中以非欧几 何为题目完成资格考试论文。基于此建议，黎曼将此论文题目定为《On the hypotheses which underlie geometry》11。此后，非欧几何正式在主流学界被广泛接 受。 黎曼的主要研究对象是椭球球面，在这个过程中，他引入了流形（英文是 manifold，意思是多褶皱，江泽涵先生按“天地有正气，杂然赋流形”进行翻译， 信达雅兼顾）的概念，来描述类似基于曲面的几何。在描述这个曲面的几何时， 平行线公设是不需要的。就像图 7.1 中的地球，如果我们画一个很大的三角形， 则在局域的视角我们认为相互平行的两条经线，在全局视角看来是可以相交的。 图中这个三角形的内角和也不是 180 度。黎曼几何很好地利用了欧氏空间的性 质，把复杂的曲面分成很多封闭的区域的集合。类似封闭的区域的集合称为图卡 （Atlas，有时也翻译为坐标图卡、图集、图汇）12。每个区域对应的局部空间（开 集），与欧氏空间这种完全没有扭曲的空间的开集在结构上对应 13。因此，可以 10欧氏几何是一个由五条公设（postulates）、五条公理（common notions）出发建立的几何体 系。 11对德国学者，在其学术生涯中正常情况下是要完成两个论文的。一个是其博士学位论文，一个 是其教授资格考试论文。 12这里要感谢北京大学数学学院的周珍楠教授。之前笔者一直找不到合适的翻译，他给了一 个很全面的回答。 13这种对应被称为 mapping。其词根，与大地测量中的 map 是相关的。按周彬老师线上课程 的讲述，在 19 世纪上半叶，高斯因为接到一个画地图的任务，便开始对这方面的问题进行 思考了。笔者认同此说法，因此这里写下来供读者参考

用欧氏空间中的微分工具来描述其结构。而相邻的区域，有重叠部分。在这些重叠的部分，又可以通过微分性质的连续性，保证完美地拼接起来。这种拼接允许空间扭曲，而类似空间的扭曲会带来与欧氏几何完全不一样的性质。后来，大家都知道这套基于数学家对空间概念的探索而引入的数学语言诞生半个世纪后，在爱因斯坦发展的广义相对论中发挥了至关重要的作用14。这个背后，实际上就是上一段提到的本质上很简单的图像。同时，我们也要指出本章要讲的很多看似高深、看似复杂的概念，都与这个简单的图像相关。本着这个思路，下面我们先从拓扑空间的概念出发引入一套基本语言来描述空间的拓扑性。之后，作为拓扑空间中一个可以利用微分方程来分析的例子，我们引入微分流形，进而为后面引入李群的概念奠定接触。图7.1非欧几何中的一些概念。左上角是地球，很显然，其表面是一个球面。在地球表面画一个无限大的三角形，内角和显然并不为零。为了描述其表面，需要通过相互交叠的开集（右上）引入图卡（左下）的概念。这些都是非欧几何中的基本语言。它是描述右下曲面的理想工具。从这些图也可以看出，拓扑的概念与非欧几何也密切相关。右下角的瓶子被称为克莱因瓶。14广义相对论中的关键点就是时空扭曲。这也就不难理解为什么我们说他去哥廷根大学讲完报告后，看到希尔伯特所提的问题为何那么地紧张了。现在，我们描述宇宙的结构是有限无边，也是基于类似的几何图像

用欧氏空间中的微分工具来描述其结构。而相邻的区域，有重叠部分。在这些重 叠的部分，又可以通过微分性质的连续性，保证完美地拼接起来。这种拼接允许 空间扭曲，而类似空间的扭曲会带来与欧氏几何完全不一样的性质。 后来，大家都知道这套基于数学家对空间概念的探索而引入的数学语言诞生 半个世纪后，在爱因斯坦发展的广义相对论中发挥了至关重要的作用 14。这个背 后，实际上就是上一段提到的本质上很简单的图像。同时，我们也要指出本章要 讲的很多看似高深、看似复杂的概念，都与这个简单的图像相关。本着这个思路， 下面我们先从拓扑空间的概念出发引入一套基本语言来描述空间的拓扑性。之后， 作为拓扑空间中一个可以利用微分方程来分析的例子，我们引入微分流形，进而 为后面引入李群的概念奠定接触。 图 7.1 非欧几何中的一些概念。左上角是地球，很显然，其表面是一个球面。在地球表面 画一个无限大的三角形，内角和显然并不为零。为了描述其表面，需要通过相互交叠的开 集（右上）引入图卡（左下）的概念。这些都是非欧几何中的基本语言。它是描述右下曲 面的理想工具。从这些图也可以看出，拓扑的概念与非欧几何也密切相关。右下角的瓶子 被称为克莱因瓶。 14广义相对论中的关键点就是时空扭曲。这也就不难理解为什么我们说他去哥廷根大学讲完 报告后，看到希尔伯特所提的问题为何那么地紧张了。现在，我们描述宇宙的结构是有限无 边，也是基于类似的几何图像

7.2拓扑空间拓扑学研究的是几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的性质。其中，最关键的是物体间的位置关系而非它们的具体形状与大小。因此，引用梁灿彬、周彬老师教材中的原话：拓扑又被通俗地称为“橡皮膜上的几何学”。在拓扑学中，重要的性质包括空间的连续性、紧致性、连通性。而李群，是一个既有群的结构，又有微分流形结构（因此自然地也会有拓扑结构）的群，是目前在物理学中具有最重要的应用的连续群。为了让读者在学习具体概念的过程中时刻能够进行定位，我们先此节的关键几点内容列出：1)拓扑空间、开集、邻域、闭集2)拓扑子空间（相对拓扑空间）、直积拓扑空间3)拓扑空间的连通性4)拓扑空间的紧致性 5)豪斯道夫空间6)拓扑映射（也叫同胚映射），它能让拓扑性质（如开集、闭集、连通性、紧致性）保持不变7)道路、道路连通、道路同伦、基本群的概念，以及如何由它们来描述的拓扑空间的连通性（单连通、复连通）具体讨论，先从拓扑空间与开集的定义开始依次进行。定义7.1拓扑空间与开集：设X是一个集合，其元素x、y、Z称为点，若能在X上规定一个子集组9，它是一系列子集的集合，满足：1.XE9, 0E9;

7.2 拓扑空间 拓扑学研究的是几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的性质。其 中，最关键的是物体间的位置关系而非它们的具体形状与大小。因此，引用梁灿 彬、周彬老师教材中的原话：拓扑又被通俗地称为“橡皮膜上的几何学”。在拓 扑学中，重要的性质包括空间的连续性、紧致性、连通性。而李群，是一个既有 群的结构，又有微分流形结构（因此自然地也会有拓扑结构）的群，是目前在物 理学中具有最重要的应用的连续群。 为了让读者在学习具体概念的过程中时刻能够进行定位，我们先此节的关键 几点内容列出： 1） 拓扑空间、开集、邻域、闭集 2） 拓扑子空间（相对拓扑空间）、直积拓扑空间 3） 拓扑空间的连通性 4） 拓扑空间的紧致性 5） 豪斯道夫空间 6） 拓扑映射（也叫同胚映射），它能让拓扑性质（如开集、闭集、连通 性、紧致性）保持不变 7） 道路、道路连通、道路同伦、基本群的概念，以及如何由它们来描述 的拓扑空间的连通性（单连通、复连通） 具体讨论，先从拓扑空间与开集的定义开始依次进行。 定义 7.1 拓扑空间与开集：设𝐗𝐗是一个集合，其元素 x、y、z 称为点，若能在𝐗𝐗上 规定一个子集组𝛝𝛝，它是一系列子集的集合，满足： 1. 𝐗𝐗 ∈ 𝛝𝛝，∅ ∈ 𝛝𝛝；

2.9中有限个元素01、02、、0k的交集属于9；3.9中任意多个元素0,的并集属于9；则集合X与9合在一起构成一个拓扑空间(X,9)。9称为X的一个拓扑，9中的每个0,都是X的开集。此定义的给出的一个明确的信息，是拓扑空间是一个定义了子集组的集合。这个子集组，是由开集组成的。换句话说，基于一个集合X，可以定义出不同的拓扑空间(X,91)与(X,92)。以X=(a,b,c}为例，可以定义：91 =u 0, = [0, [a, b, c)]这个(X,91)是一个拓扑空间。类似以9=(0,X)的形式基于X定义的拓扑空间，称为平庸的拓扑空间。对基于X定义的拓扑空间来说，平庸的拓扑空间拥有的开集数最少。同时，也可以定义：92 =U O, = [0,[a),(a,b), (a,c),(a,b,c]]这些开集0,之间的交集属于92，并集也属于92。因此，这个(X,92)也是拓扑空间。除此之外，还可以定义：93 =U O, = [0, (a), (b), (c), [a, b),[a,c], (b,c), [a, b,c]](X,93)也是拓扑空间。对X而言，像(X,93)这样的拓扑空间称为分立的拓扑空间，它包含的开集数目最多。但如果取：94 =U 0, = [0, (a,b),[a,cj,(a,b,c))则由于(a,b)与[a,c)的交集不属于94，(X,94)就不是拓扑空间。基于开集、拓扑空间，我们可以定义邻域与闭集

2. 𝛝𝛝中有限个元素𝐎𝐎𝟏𝟏、𝐎𝐎𝟐𝟐、.、𝐎𝐎𝒌𝒌的交集属于𝛝𝛝； 3. 𝛝𝛝中任意多个元素𝐎𝐎𝒊𝒊的并集属于𝛝𝛝； 则集合𝐗𝐗与𝛝𝛝合在一起构成一个拓扑空间(𝐗𝐗,𝛝𝛝)。𝛝𝛝称为𝐗𝐗的一个拓扑，𝛝𝛝中的每个 𝐎𝐎𝒊𝒊都是𝐗𝐗的开集。 此定义的给出的一个明确的信息，是拓扑空间是一个定义了子集组的集合。 这个子集组，是由开集组成的。换句话说，基于一个集合𝐗𝐗，可以定义出不同的 拓扑空间(𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟏𝟏)与(𝐗𝐗,𝛝𝛝𝟐𝟐)。以𝐗𝐗 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}为例，可以定义： 𝛝𝛝𝟏𝟏 =∪ 𝐎𝐎𝒊𝒊 = �∅,{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� 这个(𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟏𝟏)是一个拓扑空间。类似以𝛝𝛝 = {∅, 𝐗𝐗}的形式基于𝐗𝐗定义的拓扑空间，称 为平庸的拓扑空间。对基于𝐗𝐗定义的拓扑空间来说，平庸的拓扑空间拥有的开集 数最少。 同时，也可以定义： 𝛝𝛝𝟐𝟐 =∪ 𝐎𝐎𝒊𝒊 = �∅,{𝑎𝑎},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏},{𝑎𝑎, 𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� 这些开集𝐎𝐎𝒊𝒊之间的交集属于𝛝𝛝𝟐𝟐，并集也属于𝛝𝛝𝟐𝟐。因此，这个(𝐗𝐗,𝛝𝛝𝟐𝟐)也是拓扑空间。 除此之外，还可以定义： 𝛝𝛝𝟑𝟑 =∪ 𝐎𝐎𝒊𝒊 = �∅,{𝑎𝑎},{𝑏𝑏},{𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏},{𝑎𝑎, 𝑐𝑐},{𝑏𝑏, 𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� (𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟑𝟑)也是拓扑空间。对𝐗𝐗而言，像(𝐗𝐗,𝛝𝛝𝟑𝟑)这样的拓扑空间称为分立的拓扑空间， 它包含的开集数目最多。 但如果取： 𝛝𝛝𝟒𝟒 =∪ 𝐎𝐎𝒊𝒊 = �∅,{𝑎𝑎, 𝑏𝑏},{𝑎𝑎, 𝑐𝑐},{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐}� 则由于{𝑎𝑎, 𝑏𝑏}与{𝑎𝑎, 𝑐𝑐}的交集不属于𝛝𝛝𝟒𝟒，(𝐗𝐗, 𝛝𝛝𝟒𝟒)就不是拓扑空间。 基于开集、拓扑空间，我们可以定义邻域与闭集