上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十九讲 稳定的概念、线性齐次微分方程组零解的稳定性

第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程 组零解的稳定性 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程组零解的稳定性

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本讲教学目的与目标 ·微分方程组解的稳定性概念和判定 ·线性齐次微分方程组解的稳定性 回顾： ·平面二阶线性齐次微分方程组零解的局部结构 ·强调引导思考在不同情况下，坐标原点附近轨线的走向 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程组爱解的稳定性

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为什么讨论稳定性？ 。在电子、机械、生物、物理、化学、金融甚至社会生活中的 很多实际的运动规律都是由常微分方程或方程组来描述的. ·一个给定的微分方程组可以有无穷多个解，它们依赖于不同 的初始条件.但从不同初始条件出发的解往往最终趋向于某 个特定的解，称之为稳态解. ·稳态解的存在性在实际问题中至关重要，它也是微分方程稳 定性理论的重要研究内容。 如何定义稳定性？ 口同中二#生￥2月双0 张样：上将交通大学数学系第二十九讲、稳定的：老、线性济次微分方程组零解的稳定性

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稳定性的定义 对于n阶微分方程组 dx di =f(t,x); (1) 记xo(t)是其满足初始条件x(to)=xo的解， ·称解xo(t)是稳定的，如果对Hε>0,36>0使得 当x-xol<δ时，微分方程组(1)过(to,x)的解x(t)都满 足x(t)-xo(t)训<e,t≥to.这种稳定性又称 为Lyapunov稳定. 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程组爱解的稳定性

­½5½¬ Èu n á©êß| dx dt = f(t,x), (1) P x0(t) ¥Ÿ˜v–©^á x(t0) = x0 ). °) x0(t) ¥­½, XJÈ ∀ε > 0, ∃δ > 0 ¶  kx−x0k < δ û, á©êß| (1) L (t0,x) ) x(t) —˜ v kx(t)−x0(t)k < ε, t ≥ t0. ˘´­½5q° è Lyapunov ­½. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!­½Vg!Ç5‡gá©êß|")­½5

●称解xo(:)是渐近稳定的，如果它是稳定的，且对上述 的δ>0，如果k-o0使得 对δ>0都存在x专满足‖x-xo0都存在时间>T青使得x(ts)-o(t)川>0. 口同+二#生￥2月双0 张样：上将交通大学数学系第二十九讲稳定的：老、线性济次微分方程组零解的稳定性

°) x0(t) ¥ÏC­½, XJߥ­½, ÖÈ˛„  δ > 0, XJ kx−x0k 0 ¶ È ∀δ > 0 —3 x ∗ δ ˜v kx ∗ δ −x0k 0 —3ûm t ∗ δ > T ∗ δ ¶ kx ∗ δ (tδ )−x0(t ∗ δ )k > ε0. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!­½Vg!Ç5‡gá©êß|")­½5

附注：稳定性定义的进一步探讨 ●运用Lyapunov稳定性研究特定轨道的稳定性时，通常是经 过变换将其转化为新方程的平衡点来研究. ·渐近稳定性定义中稳定的假设不能去掉.例如单位圆周 sl={z=e2v0,0e0,1)h, 上的微分方程 0=sin2(π0)， 有唯一的平衡点0=0. 从S上任一点（θ=0除外）出发的轨道当1→∞时都沿着 圆周逆时针方向趋向于平衡点0，从而满足渐近稳定性定义 中的后半部分条件， 但这些轨道当1→-∞时又都沿着圆周顺时针方向趋向于平 衡点0，因而平衡点是不稳定的. 引导探索：如何判定解的稳定性？ 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念，线性齐次微分方程组零解的稳定性

N5: ­½5½¬?ò⁄&? $^ Lyapunov ­½5ÔƒA½;­½5û, œ~¥² LCÜÚŸ=zè#êß²Ô:5Ôƒ. ÏC­½5½¬•­½bÿUK. ~X¸†± S 1 = {z = e 2π √ −1θ , θ ∈ [0,1)}, ˛á©êß θ˙ = sin2 (πθ), kçò²Ô: θ = 0. l S 1 ˛?ò: (θ = 0 ÿ ) —u; t → ∞ û—˜X ±_ûêï™ïu²Ô: 0, l ˜vÏC­½5½¬ •￾å‹©^á, ˘ ; t → −∞ ûq—˜X±^ûêï™ïu² Ô: 0, œ ²Ô:¥ÿ­½. ⁄&¢µX¤½)­½5º ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!­½Vg!Ç5‡gá©êß|")­½5

$5.1.1线性齐次微分方程组零解的稳定性 定理59 设A∈化.对于常系数线性齐次微分方程组 y=Ay. (2) ()如果A的特征值的实部都小于零，则微分方程组(2)的零解 渐近稳定。 (b)如果A的特征值的实部都小于或等于零，且实部为零的特征 值的代数重数等于几何重数，则微分方程组(2)的零 解Lyapunov稳定. (c)如果A有实部大于零的特征值，或有实部为零的特征值且其 代数重数大于几何重数，则微分方程组(2)的零解不稳定 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的情多、线性齐次微分方程组零样的稳定性

$ 5.1.1 Ç5‡gá©êß|")­½5 ½n 59  A ∈ M. Èu~XÍÇ5‡gá©êß| y˙ = Ay. (2) (a) XJ A A䢋—u", Ká©êß| (2) ") ÏC­½. (b) XJ A A䢋—u½u", Ö¢‹è"A äìÍ­ÍuA¤­Í, Ká©êß| (2) " ) Lyapunov ­½. (c) XJ A k¢‹åu"Aä, ½k¢‹è"AäÖŸ ìÍ­ÍåuA¤­Í, Ká©êß| (2) ")ÿ­½. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!­½Vg!Ç5‡gá©êß|")­½5

证：(a)由推论48→存在p>0,a>0使得对v∈R", lleTAvll2≤allvlle-px,x∈O,∞) 而微分方程组(2)的任一解y(x)都可表示成 y(x)=erAv, 的形式.由此可证微分方程组(2)的零解渐近稳定： (b)设A的互不相同的特征值为 ,,k,k+1,, 它们的代数重数为 n,i=1,,S 且 Reλ<0，i=1,,k;Re2=0,i=k+1,,s. 因为入，i=k+1,,s的代数重数等于其几何重数， 所以其对应的线性无关的特征向量有个.。···· 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概老、线性齐次微分方程组零解的稳定性

y: (a) dÌÿ 48 =⇒ 3 ρ > 0, a > 0 ¶È v ∈ R n , ke xA vk2 ≤ akvke −ρx , x ∈ [0,∞). á©êß| (2) ?ò) y(x) —åL´§ y(x) = e xA v, /™. ddåyá©êß| (2) ")ÏC­½. (b)  A pÿÉ”Aäè λ1,...,λk, λk+1,...,λs , ßÇìÍ­Íè ni , i = 1,...,s; Ö Reλi < 0, i = 1,..., k; Reλi = 0, i = k +1,...,s. œè λi , i = k +1,...,s ìÍ­ÍuŸA¤­Í, §±ŸÈAÇ5Ã'Aï˛k ni á. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!­½Vg!Ç5‡gá©êß|")­½5

由定理47及其附注1得，微分方程组(2)有基解矩阵 )=(ep(,e2p…,e2p9…,ep26） 其中 p),j=1,…,k,i=1,,n 是次数不超过m-1的多项式，而 p(e),j=k+1,,s,i=1,,m 是常数向量（对应于入的特征向量）.记 Ψ1(d=（pG)…,ep9x,e2p(x,,e24p)； Ψ2(x)= (ep+,c+p+,,erp9,ep） 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概多、载性齐次微分方程组零解的稳定性

d½n 47 9ŸN5 1 , á©êß| (2)kƒ)› Φ(x) =  e λ1xP (1) 1 (x),..., e λ1xP (1) n1 (x),..., e λsxP (s) 1 (x),..., e λsxP (s) ns (x)  , Ÿ• P (j) i (x), j = 1,..., k,i = 1,...,nj ¥gÍÿáL nj −1 ıë™, P (j) i (x), j = k +1,...,s,i = 1,...,nj ¥~Íï˛ (ÈAu λj Aï˛). P Ψ1(x) =  e λ1xP (1) 1 (x),..., e λ1xP (1) n1 (x),..., e λkxP (k) 1 (x),..., e λkxP (k) nk (x)  , Ψ2(x) =  e λk+1xP (k+1) 1 ,..., e λk+1xP (k+1) nk+1 ,..., e λsxP (s) 1 ,..., e λsxP (s) ns  , ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!­½Vg!Ç5‡gá©êß|")­½5

由推论48及其证明得，存在p>0,a>0使得对v1∈Rm++, lΨ(x)vil2≤allvi2e-pr,x∈0，∞). 又因为le=1(i=k+1,,s),且 P0(i=k+1,sj=1,,n)是确定的常数向量， 所以存在b>0使得对v2∈R+1++ Ψ2(x)v2ll2≤blv22,x∈0，∞)： 而微分方程组(2)的通解可以写成 y(x)=Φ(x)v=平1(x)v1+平2(xv2, 是任意常数向量.所以 ly(xl2=IΦ(x)vll2≤(allv12epx+bllv1ll2)≤(a+b)vll2,x∈0，∞). 由此可证微分方程组(2)的零解是Lyaponov稳定， 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程组爱解的稳定性

dÌÿ 48 9Ÿy², 3 ρ > 0, a > 0 ¶È ∀v1 ∈ R n1+...+nk , kΨ1(x)v1k2 ≤ akv1k2e −ρx , x ∈ [0,∞). qœè |e λix | = 1 (i = k +1,...,s), Ö P (i) j (i = k +1,...,s,j = 1,...,ni) ¥(½~Íï˛, §±3 b > 0 ¶È ∀v2 ∈ R nk+1+...+ns , kΨ2(x)v2k2 ≤ bkv2k2, x ∈ [0,∞). á©êß| (2)œ)屧 y(x) = Φ(x)v = Ψ1(x)v1 +Ψ2(x)v2, Ÿ• v = v1 v2 ! ¥?ø~Íï˛. §± ky(x)k2 = kΦ(x)vk2 ≤ ￾ akv1k2e −ρx +bkv1k2
≤ (a+b)kvk2, x ∈ [0,∞). ddåyá©êß| (2) ")¥ Lyaponov ­½. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!­½Vg!Ç5‡gá©êß|")­½5