上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十七讲 二阶线性微分方程的幂级数解法

第二十七讲、二阶线性微分方程的幂级数解法 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑地点：老图书馆数学楼301. 时间：周一晚上6-8点 口0·4之·4生+2刀0 张祥：上海交通大学数学系 第二十七讲、二阶线性微分方程的幂级数解法

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本讲教学目的与目标 ·提供一类变系数线性微分方程的一个解法 回顾： ●线性微分方程解的理论、求解方法（常系数、变系数） 。幂级数、及其收敛判别法 口年9·+二￥+生42刀风0 张祥：上海交通大学数学系第二十七讲。二阶钱性微分方程的幂级数解法

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本讲再次回到二阶齐次线性微分方程 y”+p(xy+q(xy=0. (1) 设问： ●p,q应具有怎样的性质才有可能求出其幂级数解？ 定义： ·如果p(x),q(x)在x和的某邻域解析，称x和为(1)的常点 ·如果p(x)或q(x)在o不解析，称xo为(1)的奇点. 口0·4之·4生+2刀0 张祥：上海交通大学数学系 第二十七讲、二阶线性微分方程的幂级数解法

˘2g£‡gÇ5á©êß y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = 0. (1) ص p,q A‰kN5ü‚kåU¶—Ÿò?Í)? ½¬µ XJ p(x),q(x) 3 x0 ,ç)¤, ° x0 è (1) ~:. XJ p(x) ½ q(x) 3 x0 ÿ)¤, ° x0 è (1) ¤:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ‘˘!Ç5á©êßò?Í){

幂级数解的理论：常点 首先考虑方程(1)在常点邻域解析解的收敛半径 定理53 设p(x),q(x)在x-xol1可由递推公式通过co,c1表示. 口+艺·4主12月双 张祥：上海交通大学数学系第二十七讲。二阶钱性微分方程的幂级数解法

ò?Í)nÿ: ~: ƒkƒêß (1) 3~:ç)¤)¬Òåª. ½n 53  p(x),q(x) 3 |x−x0| 1 åd4Ì˙™œL c0, c1 L´. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ‘˘!Ç5á©êßò?Í){

分析思想引导： ●回忆高阶微分方程与方程组的关系 。原问题转化为线性微分方程组的同样的问题 ●回忆解析微分方程组解析解存在性的证明 ·如何将解析微分方程组解析解存在性的证明合理地移植到线 性微分方程组？ 口0·4之·4生+2刀0 张样：上海交通大学数学系 第二十七讲、二阶线性微分方程的幂级数解法

©¤gé⁄µ ££pá©êßÜêß|'X ØK=zèÇ5á©êß|”ØK ££)¤á©êß|)¤)35y² X¤Ú)¤á©êß|)¤)35y²‹n/£áÇ 5á©êß|? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ‘˘!Ç5á©êßò?Í){

证：由于齐次线性微分方程(1)满足初始条件 y(xo)=yo,y(xo)=yI, 0,y1∈R, (2) 的初值问题通过变换y=z可化为二阶齐次线性微分方程组 y=z, y(o）=y0 =-p(x)z-g(x)y,z(xo)=y1, 因此定理的证明可由下面的定理*得到.证毕 日4艺”4主12月双0 张祥：上海交通大学数学系第二十七讲、三阶钱性微分方程的幂级数解法

y: du‡gÇ5á©êß (1) ˜v–©^á y(x0) = y0, y 0 (x0) = y1, y0, y1 ∈ R, (2) –äØKœLCÜ y 0 = z åzè‡gÇ5á©êß| y 0 = z, y(x0) = y0, z 0 = −p(x)z−q(x)y, z(x0) = y1, œd½ny²åde°½n ∗ . y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ‘˘!Ç5á©êßò?Í){

定理* 假设A(x)和f(x)分别是n阶矩阵函数和n维向量函数，且它们 的每个分量在x-o<p内都可展成关于x-0的收敛的幂级 数，则线性微分方程组初值问题 dy =A(x)y+f(x), y(xo)=yo, (3) d 在x-xol<p内有收敛的幂级数解 证明思路分析： ·构造方程(3)右端函数的优函数， ·以构造的优函数作为右端项的微分方程有显示解析解 。通过两个方程的形式解之间的优级数关系证明原方程的形式 解在给定区间上的收敛性 ∽a0 张样：上海交通大学数学系 第二十七讲、二阶线性微分方程的幂级数解法

½n∗ b A(x) ⁄ f(x) ©O¥ n › ºÍ⁄ n ëï˛ºÍ, ÖßÇ zᩲ3 |x−x0| < ρ S—å–§'u x−x0 ¬Òò? Í, KÇ5á©êß|–äØK dy dx = A(x)y+f(x), y(x0) = y0, (3) 3 |x−x0| < ρ Sk¬Òò?Í). y²g¥©¤: Eêß (3) m‡ºÍ`ºÍ, ±E`ºÍäèm‡ëá©êßkw´)¤) œL¸áêß/™)Ém`?Í'Xy²êß/™ )3â½´m˛¬Ò5 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ‘˘!Ç5á©êßò?Í){

证：为了记号简单起见，不失一般性，我们假设和=0，y0=0. 记A(x)=(a时(x)nxm,fx)=(f(x),.fn(x)",其中tr表示转置. 由假设，对i,j∈{1，，n} 1.方程组右端函数Taylor展开的优函数构造 对任意的b∈(O,P),下列常数项级数 收敛.令M为它们的最大值. 口卡间4二主￥2刀双0 张祥：上海交通大学数学系第二十七讲。二阶钱性微分方程的幂级数解法

y: è P“{¸ÂÑ, ÿîòÑ5, ·Çb x0 = 0,y0 = 0. P A(x) = (aij(x))n×n, f(x) = (f1(x),...,fn(x))tr , Ÿ• tr L´=ò. db, È i,j ∈ {1,...,n} aij(x) = ∞ ∑ k=0 a (ij) k x k , fj(x) = ∞ ∑ k=0 f (j) k x k , |x| < ρ. 1. êß|m‡ºÍ Taylor –m`ºÍE È?ø b ∈ (0,ρ), e~Íë?Í ∞ ∑ k=0 |a (ij) k |b k , ∞ ∑ k=0 |f (j) k |b k , i,j ∈ {1,...,n}, ¬Ò. - M èßÇÅåä. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ‘˘!Ç5á©êßò?Í){

则对所有的i,Jj∈{1，，n以，k∈{0,1,2，.}有 9<0 因而 gw=2-如月=“ xl<b, 是a(x)和fx)在x<b上的优函数.进一步地有 g(x)y1+..+ym+1), 是 awy+f),=1网 的优函数 张样：上海交通大学数学系 第二十七讲、二阶线性微分方程的幂级数解法

Kȧk i,j ∈ {1,...,n}, k ∈ {0,1,2,...} k |a (ij) k |, |f (j) k | < M b k . œ g(x) = ∞ ∑ k=0 M b k x k = ∞ ∑ k=0 M x b k = M 1− x b , |x| < b, ¥ aij(x) ⁄ fj(x) 3 |x| < b ˛`ºÍ. ?ò⁄/k g(x)(y1 +...+yn +1), ¥ n ∑ j=1 aij(x)yi +fi(x), i = 1,...,n, `ºÍ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ‘˘!Ç5á©êßò?Í){

2.优函数对应的方程组的解析解及其收敛半径 直接计算得，初值问题 du =80u+ ,4(0)=0, 有唯一的解 =n(-)6-m 由数学分析的知识，(x)在x<b上可展成收敛的幂级数 又由解的唯一性理论得，y*(x)=(u(x),,(x)是微分方程组初 值问题 =g01+.+m+10,0)=0,i=1m dx 的唯一解。 日4艺”4主12月双0 张祥：上海交通大学数学系第二十七讲、二阶钱性微分方程的幂级数解法

2. `ºÍÈAêß|)¤)9Ÿ¬Òåª ÜOé, –äØK du dx = g(x)(nu+1), u(0) = 0, kçò) u(x) = n −1  1− x b −nMb −n −1 . dÍÆ©¤£, u(x) 3 |x| < b ˛å–§¬Òò?Í. qd)çò5nÿ, y ∗ (x) = (u(x),...,u(x)) ¥á©êß|– äØK dyi dx = g(x)(y1 +...+yn +1), yi(0) = 0, i = 1,...,n, çò). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ‘˘!Ç5á©êßò?Í){