医学高数：《高等数学》课程教案讲稿（大学医科数学）第五章 微分方程 5.1－5.4 微分方程的概念和性质

Chap 5 微分方程

Chap 5 微分方程

Chap 5-1 微分方程基本概念

Chap 5 ― 1 微分方程基本概念

例子 。Malthus模型 物种个体总数一P(x) 单位时间个体增长率一” 从t→t+△t, P(t+△t)-P(t) △t =rP(0) dp 含未知函数 di 一阶导数 称为一阶微分方程

■ 例子 ¾ Malthus 模型 物种个体总数 — P(x) 单位时间个体增长率— r 从 → + Δttt , )( )()( tPr t tPttP = Δ + Δ − rP dt dP =⇒ 含未知函数 一阶导数 称为一阶微分方程

>假画的鉴定问题 二战结束时，Meegeren因将名画卖给纳粹头目 Goering受审，Meegeren辩称那些画是他自己所作 假，其中包括绘画大师Vermeer的基督与长老”， 这画的鉴定直至1960年代才解决 画颜料中含有放射性物质m(例如C-14) dm =-rm (r-衰减常数) dt r=1n2/半衰期，分析C-14衰变量的比例确定年代

¾ 假画的鉴定问题 二战结束时，Meegeren 因将名画卖给纳粹头目 Goering 受审， Meegeren辩称那些画是他自己所作 假，其中包括绘画大师Vermeer的“基督与长老”， 这画的鉴定直至1960年代才解决 画颜料中含有放射性物质 m (例如C-14) d m r m d t = − （r -衰减常数） r =ln2/半衰期，分析C-14衰变量的比例确定年代

>核废料的处理 美国原子能委员会曾将密封着核废料的园桶 扔到深海底，环保者提出质问：安全否？实验表明 速度达12.2m/sec时圆桶可能破裂. 海面下水深度y(t),海水密度D-1026kg/m3 桶重W一249kg,体积V一0.208m3,阻力系数k=0.12 浮力B=VD=213.41kg 依Newton第二定律 d' dy m 2-W-B-k 二阶微 dt 分方程

¾ 核废料的处理 美国原子能委员会曾将密封着核废料的园桶 扔到深海底，环保者提出质问：安全否?实验表明 速度达12.2m/sec时圆桶可能破裂. 海面下水深度 y (t), 海水密度D－1026kg/m3 桶重W －249kg,体积V－0.208m3,阻力系数k＝0.12 浮力B = VD=213.41kg 依Newton第二定律 dt dy kBW dt yd m −−= 2 2 二阶微 分方程

■概念 >一般形式 F(x,y,y',…,ym)=0 n阶微分方程 (x为自变量，y为函数) >相关概念 方程的阶 方程的解：通解，特解 定解条件 初始条件，边界条件 定解问题：方程+定解条件

¾ 一般形式 0),,,,( )( ′ = n L yyyxF (x为自变量， y为函数) n 阶微分方程 ■ 概念 方程的阶 方程的解：通解，特解 定解条件 初始条件，边界条件 ¾ 相关概念 定解问题：方程 + 定解条件

解的几何意义 微分方程的一个特解 y=y(x)在坐标平面上对应 一 条曲线，称为积分曲线， y=y(x) 而方程的通解在平面上则 对应一族曲线，称为积分 曲线族

■ 解的几何意义 微分方程的一个特解 = xyy )( 在坐标平面上对应 一条曲线，称为积分曲线， 对应一族曲线，称为积分 x y 而方程的通解在平面上则 O 曲线族 y=y(x)

Chap 5 -2 可分离变量方程

Chap 5 ― 2 可分离变量方程

可分离变量方程 ,形式 > d 2=p(x)w(y） d > 解法 y 化为 =p(x)d后两边积分 w(y) 注意 使w(y)=0的常数y=c也是方程的解 例 求解下列方程 (1)y=xW1-y

yx )()( dxdy ¾ 形式 = ψϕ 后两边积分 ■ 可分离变量方程 ¾ 解法 dxx y dy )( )( ϕ ψ 化为 = 2 (1) ′ 1−= yxy 例 求解下列方程 注意 使ψ y = 0)( 的常数 = cy 也是方程的解

dp 2) dt =rP >一般地，若 dy=p(x)y dx → y=celr 这里p(x)dk表示px)的一个原函数

rP dt dP (2) = ¾ 一般地，若 yxp dxdy = )( ∫ =⇒ dxxp cey )( 这里 ∫ )( dxxp 表示 p(x) 的一个原函数