上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第一章 随机事件和概率 1.4 随机事件的独立性

1.4随机事件的独立性 引例已知袋中有5只红球，3只白球.从袋中有 放回地取球两次，每次取1球. 取得白球为事件A:（i=1,2)· PA),P(4),P(4A)P(4A)

1.4 随机事件的独立性 引例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有 放回地取球两次,每次取1球. 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . ( ), P A2 A1 ( ), P A2 A1 ( ) , ( ), P A1 P A2

引例 已知袋中有5只红球，3只白球.从袋中有 放回地取球两次，每次取1球。 取得白球为事件A（i=1,2)· PA),P(4),P(4A),P(4A), 解P(A)=3/8=P(A2), P(A,A)=3/8, P(4A)=3/8, P(44)=P(A)=P(44) 事件A1发生与否对A2发生的概率没有影响可视为 事件A1与A,相互独立 →P(AA)=(3/8)2=P(A)P(A,A)=P(A)P(A,)

引例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有 放回地取球两次,每次取1球. 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . ( ), P A2 A1 ( ), P A2 A1 ( ) , ( ), P A1 P A2 解 ( ) 3/ 8, P A2 A1 = ( ) 3/ 8, 2 1 P A A = ( ) 3/ 8 ( ), P A1 = = P A2 ( ) ( ) ( ) P A2 A1 = P A2 = P A2 A1 事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响可视为 事件A1与A2相互独立 ( ) (3/ 8) ( ) ( ) 1 2 1 2 P A1A2 = = P A P A A ( ) ( ) P A1 P A2 =

定义 设A,B为两事件，若 P(AB)=P(A)P(B) 测称事件A与事件B相互独立 注意：从直观上讲，A与B独立就是其中任何 一个事件出现的概率不受另一个事件出现 与否的影响

注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何 一个事件出现的概率不受另一个事件出现 与否的影响. 定义 设 A , B 为两事件，若 P(AB) = P(A)P(B) 则称事件 A 与事件 B 相互独立

两事件相互独立的性质 口两事件A与B相互独立是相互对称的 口若P(A)>0,则P(B)=P(BA) 若P(B)>O,则P(A)=P(AB) 口若P(A)>0,P(B)>0 则“事件A与事件B相互独立”和 “事件A与事件B互斥” 不能同时成立

两事件相互独立的性质  两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的  若 P(A) > 0, 则P(B) = P(B A) 若 P(B) > 0, 则P(A) = P(AB)  若 P(A) > 0, P(B) > 0, 则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立

四对事件A,B,AB;A,B,A,B 任何一对相互独立，则其它三对也相互独立 试证其一A,B独立→A,B独立 事实上 P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) -P(A)-P(A)P(B) =P()1-P(B)=P(A)P(B)

 四对事件 AB AB AB AB ,; ,; ,; , 任何一对相互独立,则其它三对也相互独立 试证其一 A, B 独立 ⇒ A, B 独立 事实上 P(AB) = P(A− AB) = P(A) − P(AB) = P(A)[1− P(B)]= P(A)P(B) = P(A) − P(A)P(B)

定义 三事件A,B,C相互独立 是指下面的关系式同时成立： P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) (1) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) (2) 注：1)关系式(1)(2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时，称A,B,C两两独立 A,B,C相互独立→A,B,C两两独立

三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立： 注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P BC P B P C P AC P A P C P AB P A P B = = = (1) P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (2) A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立 定义

例同时掷两枚骰子， A=“第一枚点数为奇数”； B=“第二枚点数为奇数”； C=“点数和为奇数”； 问（1)A,B,C是否两两独立？（2)A,B,C是否相互独立？ P(A0=P(B)=P(C)=2 P(AB)=P(AC)=P(BC)= P(ABC)=0P(A)P(B)P(C)= 8

例 同时掷两枚骰子， A = “第一枚点数为奇数”； B = “第二枚点数为奇数”； C = “点数和为奇数”； 问（1） ABC , , 是否两两独立？（2） ABC , , 是否相互独立？ 1 () () () 2 PA PB PC = = = 1 () () () , 4 P AB P AC P BC = = = 1 ( ) 0 ()()() 8 P ABC P A P B P C = ≠ =

定义 n个事件A1,A2,,An相互独立 是指下面的关系式同时成立 P(A,A)=P(A)P(A),1≤i<j≤n P(A,AA)=P(A)P(A)P(A),1≤i<j<k≤n P(AA…An)=P(A)P(A2)…P(An)

n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立 ( ) ( ) ( ) ( ) P A1A2 A n P A1 P A2 P A n  = P A A P A P A i j n ( i j) = ( i) ( j), 1≤ < ≤ P A A A P A P A P A i j k n ( i j k ) = ( i) ( j) ( k ), 1≤ < < ≤ 定义

例已知事件A,B,C相互独立，证明事件 A与BUC也相互独立 P(A(BUC)=P(BUC)-P(A(BUC)) =P(B)+P(C)-P(BC) -P(AB)+P(AC)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(C)-P(BC) =P(A)P(BUC) 口结论： 若n个事件A,,…,An相互独立，将这n 个事件任意分成k组，同一个事件不能同时属于 两个不同的组，则对每组的事件进行求和、积、差、 对立等运算所得到的k个事件也相互独立

例 已知事件 A, B, C 相互独立，证明事件 A 与B C ∪ 也相互独立 证 P AB C PB C P AB C ( ( )( ) ( ) ∪ = ∪− ∪ ) ( ) [ ] [ ] () () ( ) () () ( ) P B P C P BC P AB P AC P ABC = +− − +− = +− P A P B P C P BC () () () ( ) [ ] = ∪ PAPB C ()( ) 结论： 若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立，将这 n 个事件任意分成 k 组，同一个事件不能同时属于 两个不同的组，则对每组的事件进行求和、积、差、 对立等运算所得到的 k 个事件也相互独立

例设有两门高射炮，每一门击中飞机的概 率都是0.6，求下列事件的概率： (1)同时发射一发炮弹而击中飞机的概率 是多少？ (2)若有一架敌机入侵领空，欲以99%以 上的概率击中它，问至少需要多少门高射 炮？

例 设有两门高射炮，每一门击中飞机的概 率都是0.6，求下列事件的概率： （1）同时发射一发炮弹而击中飞机的概率 是多少？ （2）若有一架敌机入侵领空，欲以99%以 上的概率击中它，问至少需要多少门高射 炮？