上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第七章 参数估计 7.1 点估计法

第七章参数佑计

第七章 参数估计

什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面的概率特性的数量， 当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个 样本，用某种方法对这个未知参数进行估计 就是参数估计. 例如，X~N(4,σ2)， 若4ō2未知，通过构造样本的函数，给出它 们的估计值或取值范围就是参数估计的内容 点估计 区间估计

什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面的概率特性的数量. 当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个 样本，用某种方法对这个未知参数进行估计 就是参数估计. 例如，X ~N (µ ,σ 2), 点估计 区间估计 若µ, σ 2未知，通过构造样本的函数, 给出它 们的估计值或取值范围就是参数估计的内容

参数估计的类型 点估计(point Estimation)一估计未知参数的值 区间估计(interval Estimation)一 估计未知参数的 取值范围，使得这个范围包含未知参数真值的 概率为给定的值

参数估计的类型 点估计(point Estimation) —— 估计未知参数的值 区间估计(interval Estimation)—— 估计未知参数的 取值范围，使得这个范围包含未知参数真值的 概率为给定的值

7.1点估计法 点估计的思想方法 设总体X的分布函数的形式已知，但它含有 一个或多个未知参数：0,02，，0 设X,X2,,X,为总体的一个样本 构造k个统计量： 0(X1,X2,…,Xn) 02(X1,X2,…,Xn) 随机变量 0(X1,X2,…,Xn)

7.1 点估计法 点估计的思想方法 设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有 一个或多个未知参数：θ1,θ2, …,θk 设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 2 1 1 2 k n n n X X X X X X X X X     θ θ θ 随机变量

当测得一组样本值化1，x2,x)时，代入上述 统计量，即可得到k个数： 01(x1,x2,…,xn) 02(x1,x2,…,xn) 数值 0(x1,x2,…,xn) 称数0，，…，0为未知参数0,02，…，0.的估计值 对应的统计量为未知参数0,02，…，O的估计量 Q:如何构造统计量？ 如何评价估计量的好坏？

当测得一组样本值(x1, x2,…, xn)时，代入上述 统计量，即可得到 k 个数： ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ 1 2 2 1 2 1 1 2 k n n n x x x x x x x x x     θ θ θ 数值 称数θ θ θ k ˆ , , ˆ , ˆ 1 2  为未知参数θ θ θ k , , , 1 2  的估计值 如何构造统计量？ 如何评价估计量的好坏？ 对应的统计量为未知参数θ θ θ k , , , 1 2  的估计量 Q :

常用的点估计方法 口频率替换法 利用事件A在n次试验中发生频率 n 作为事件A发生的概率D的估计量 卫 n

常用的点估计方法  频率替换法 利用事件A 在 n 次试验中发生频率 n nA 作为事件A 发生的概率 p 的估计量 p n nA p →

例1设总体X~N(4,2),在对其作28次独立 观察中，事件“X<4”出现了21次，试用频率替 换法求参数的估计值， 释由P<4E02≈207万 28 查表得 4-4=0.675 V2 于是的估计值为d≈3.045

例1 设总体X ~ N ( µ , 2 ), 在对其作28 次独立 观察中, 事件 “X < 4”出现了21 次, 试用频率替 换法求参数 µ的估计值. 解 由 0.75 28 21 ) 2 4 ( 4) ( ≈ = − < = Φ µ P X 0.675 2 4 = − µ 查表得 于是 µ的估计值为 ∧ µ ˆ ≈ 3.045

口矩估计法 用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的 方法 估计量，建立含有待估计参数的方程， 从而可解出待估计参数

 矩估计法 方法 用样本的 k 阶矩作为总体的 k 阶矩的 估计量, 建立含有待估计参数的方程， 从而可解出待估计参数

设待估计的参数为0,02，…，0 设总体的r阶矩存在，记为 E(X)=4,(0,02,…,0k) 设X,X2,Xn为一样本，样本的r阶矩为 B.-X 应 i=1 4.(0,02,…,0)=2Xr=1,2,,k n i=l 含未知参数日，0，，9的方程组

设待估计的参数为θ θ θ k , , , 1 2  设总体的 r 阶矩存在，记为 ( ) ( , , , ) r 1 2 k r E X = µ θ θ  θ 设 X1, X2,…, Xn为一样本，样本的 r 阶矩为 ∑ = = n i r r Xi n B 1 1 r =1,2,,k 令 ( , , , ) µr θ1 θ 2  θ k ∑= = n i r Xi n 1 1 —— 含未知参数 θ1,θ2, …,θk 的方程组

解方程组，得k个统计量： (X1,X2,…,Xn) 02(X1,X2,…,Xm) 未知参数0,02，…，0k 的矩估计量 0(X1,X2,…,Xn) 代入一组样本值得k个数： 61=01(x1,x2,…,xm) 62=02(x1,x2,…,xn) 未知参数0,02，，0 的矩估计值 6=0%(c1,x2,…,xn）

解方程组，得 k 个统计量： ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ 1 2 2 1 2 1 1 2 k n n n X X X X X X X X X     θ θ θ ——未知参数θ1,θ2, …,θk 的矩估计量 ( , , , ) ˆ ˆ ( , , , ) ˆ ˆ ( , , , ) ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k n n n x x x x x x x x x     θ θ θ θ θ θ = = = ——未知参数θ1,θ2, …,θk 的矩估计值 代入一组样本值得k个数: