上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第五章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律

第五章 大数定样与中心极限定理

第五章 大数定律与中心极限定理

本章要解决的问题 1.为何能以某事件发生的频率 作为该事件的概率的估计？ 大数 2.为何能以样本均值作为总体 定律 期望的估计？ 3.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 中心极 4.大样本统计推断的理论基础 限定理 是什么？

本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 大数 定律 中心极 限定理

预备知识 Chebyshev不等式 设随机变量X的方差D(X)存在， 则对于任意实数ε>0， P(X-E(X)≥)≤ D(X) 82 或 P(X-E(X)KE)≥1- D(X

设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 ε > 0, 2 ( ) (| ( ) | ) D X P X EX ε ε − ≥≤ Chebyshev 不等式 或 2 ( ) (| ( ) | ) 1 D X P X EX ε ε − < ≥− 预备知识

例某射手射靶，得十分的概率为0.5，得九分 的概率为0.3，得八分的概率为0.1，得七分的 概率为0.05，得六分的概率为0.05.现独立的射 击100次，用Chebyshev不等式估计总分介于 900分与930分之间的概率。 解设该射手第次的得分为X;,则 E(X)=9.15E(X)=84.95 D(X)=1.2275 该射手100次射击的总分为X,则 100 X=∑x, E(X)=915D(X)=122.75 P(900<X<930)=P(X-915l<15≥1-DX 152 2=0.45

例 某射手射靶，得十分的概率为0.5，得九分 的概率为0.3，得八分的概率为0.1，得七分的 概率为0.05，得六分的概率为0.05.现独立的射 击100次，用Chebyshev 不等式估计总分介于 900分与930分之间的概率。 ( ) 9.15 E Xi = 2 ( ) 84.95 E Xi = ( ) 1.2275 D Xi = 解 设该射手第i次的得分为 Xi ，则 该射手100次射击的总分为X ，则 100 1 i i X X = = ∑ E X( ) 915 = D X( ) 122.75 = 2 ( ) (900 930) ( 915 15) 1 0.45 15 D X P X PX < < = − < ≥− =

定义设Y,Y,…,Yn,…是一系列随机变量， a是一常数，若Hε>0有 IimP(n-d≥e)=0 (或limP(yn-a<s)=1) 则称随机变量序列Y,Y,…,Y,…依概率收敛 于常数，记作 n→o

定义 a 是一常数， lim ( − ≥ ) = 0 →∞ P Y a ε n n (或 lim ( − 0 有

a 曲线从平坦到陡峭依次为随机变量 Yi,Y,,Ym的密度函数曲线

曲线从平坦到陡峭依次为随机变量 Y1，Y2，…….，Yn的密度函数曲线

5.1大数定律 贝努里(Bernoulli)大数定律 设n4是n次独立重复试验中事件A发生的 次数，p是每次试验中A发生的概率，则 廿ε>0有 tim-0 或 mit-pse-1

贝努里（Bernoulli） 大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则 ∀ε > 0 有 lim  = 0      − ≥ →∞ p ε n n P A n 或 lim  =1      − < →∞ p ε n n P A n 5.1 大数定律

证引入随机变量序列{X X:-10. 1, 第k次试验A发生 第k次试验A发生 设P(X=1)=p,则E(X)=p,D(X)=pq X,X2,,Xn相互独立，n4=∑X k= 记y,=1X,E(y,)=p,D(Y)=P四 n k=1 由Chebyshev不等式

证 引入随机变量序列{Xk}    = 第 次试验 发生 第 次试验 发生 k A k A Xk 0, 1, 设 P(X 1) p, k = = 则 E X p D X pq ( k ) = , ( k ) = X X X n , , , 1 2  相互独立， ∑= = n k nA Xk 1 记 , 1 1 ∑= = n k n Xk n Y n pq E(Y n ) = p, D(Y n ) = 由Chebyshev 不等式

osAu-pze : -P k=1 —-E(Xk)≥ =收.-产)≤是% n 故 m倍2c小=0

      ≤ − p ≥ ε n n P A 0 故 lim  = 0      − ≥ →∞ p ε n n P A n = ( − ( ) ≥ ε ) P Y n E Y n n pq ≤ ⋅ 2 1 ε             = − ≥ ∑= ( ) ε 1 k n k k E X n X P

贝努里(BernoulIi) 大数定律的意义： 在概率的统计定义中，事件A发生的颜率 n “稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是 指： 频率”4与p有较大偏差 是 n 小概率事件，因而在足够大时，可以用频率 近似代替p.这种稳定称为依概率稳定

在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是 指： n nA n n 频率 A 与 p 有较大偏差       − p ≥ ε n nA 是 小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率 近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定. 贝努里（Bernoulli） 大数定律的意义：