上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布函数

第二章1 随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布

为了更好的揭示随机现象的规律性并利用 数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随 机试验的不同结果 例：电话总机某段时间内接到的电话次数， 可用一个变量X来描述 例：地掷一枚硬币可能出现的两个结果， 也可以用一个变量来描述 正面向上 0, 反面向上

为了更好的揭示随机现象的规律性并利用 数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随 机试验的不同结果 例: 电话总机某段时间内接到的电话次数， 可用一个变量 X 来描述 例: 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果， 也可以用一个变量来描述    = 反面向上 正面向上 0, 1, X (ω)

2.1随机变量及其分布函数 随机变量（random variable) 定义 设D是试验E的样本空间，若 V0∈2按一定法则 彐实数X(o) 则称X（⊙)为上的随机变量 简记r.V.X. r.V.一般用大写字母XY,Z,… 或小写希腊字母飞，门，（表示

2.1 随机变量及其分布函数 设 W 是试验E的样本空间, 若 则称 X ( ω) 为 W 上的 随机变量 r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , ¼ 或小写希腊字母 x, h, z 表示. ∃ 实数 X (ω) 定义 随机变量 ( random variable ) 按一定法则 ∀ω ∈Ω 简记 r.v. X

随机变量是2→R上的映射， 此映射具有如下特点 ◇定义域 事件域2 ◇随机性r.V.X的可能取值不止一 个，试验前只能预知它可能的取值，但 不能预知取哪个值 ◇概率特性X以一定的概率取某个值

随机变量是 Ω →R 上的映射, 此映射具有如下特点 定义域 事件域 W 随机性 r.v. X 的可能取值不止一 个, 试验前只能预知它可能的取值，但 不能预知取哪个值 概率特性 X 以一定的概率取某个值

引入r.V.后，可用r.V.的等式或不等 式表达随机事件，例如 (X>100)—表示“某天9：0010：00 接到电话次数超过100次”这一事件 ◇ r.V.的函数一般也是Y.V. ◇ 可根据随机事件定义r.V. 设A为随机事件，则称 10∈A 0,o∈A 为事件A的示性变量

引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等 式表达随机事件, 例如 (X >100) —— 表示 “某天9:00 ~ 10:00 接到电话次数超过100次” 这一事件    ∈ ∈ = A A X A ω ω 0, 1, 为事件A 的示性变量 r.v.的函数一般也是r.v. 可根据随机事件定义 r.v. 设 A 为随机事件，则称

在同一个样本空间可以同时定义多个 r.V., 例如 ={儿童的发育情况w} X(w)一身高， Y(w)一体重， Z(w)一视力. 各r.V.之间可能有一定的关系，也可 能没有关系一即相互独立

在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v., 例如 W = {儿童的发育情况 w } X(w) — 身高, Y(w) — 体重, Z(w) — 视力. 各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可 能没有关系—— 即 相互独立

离散型 r.V.分类 非离散型 其中一种重要的类型为 连续性r.V. ◇任何随机现象可 引入r.V. 被rV描述 重要意义 借助微积分方法 将讨论进行到底

离散型 非离散型 r.v. 分类 其中一种重要的类型为 连续性 r.v. 引入 r.v. 重要意义 ◇ 任何随机现象可 被 r.v.描述 ◇ 借助微积分方法 将讨论进行到底

随机变量的分布函数 定义 设X为r.V.,X是任意实数，称函数 F(x)=P(X≤x),-0<x<+0 为X的分布函数 用分布函数计算X落在(a,b]里的概率： P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a) =F(b)-F(a)

为 X 的分布函数. 设X 为 r.v.,x 是任意实数,称函数 F(x) = P(X ≤ x), − ∞ < x < +∞ 随机变量的分布函数 定义 = F(b) − F(a) （ ] a b （] ]] P(a < X ≤ b)= P(X ≤ b) − P(X ≤ a) 用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：

分布函数的性质 口F(x)单调不减，即 Vx1<x2,F(x)≤F(x2) 0≤F(x)≤1且 lim F(x)=1,lim F(x)=0 X→十00 口F(x)右连续，即 F(x+0)lim F(t)=F(x) t→x+0

分布函数的性质  F ( x ) 单调不减，即 , ( ) ( ) 1 2 1 2 ∀ x < x F x ≤ F x  0 ≤ F(x) ≤1 且 lim ( ) =1, lim ( ) = 0 →+∞ →−∞ F x F x x x  F ( x ) 右连续，即 ( 0) lim ( ) ( ) 0 F x F t F x t x + = = → +

用分布函数表示概率 P(aa)=1-P(X<a)=1-F(a) P(X=a)=F(a)-F(a-0) 请 P(a≤X≤b)=F(b)-F(a-0) 填 P(a<X<b)=F(b-0)-F(a) 空 P(a<x<b)=F(b-0)-F(a-0)

P(a a) =1− P(X ≤ a) =1− F(a) P(X = a) = F(a) − F(a − 0) F(b) − F(a − 0) F(b − 0) − F(a) F(b − 0) − F(a − 0) P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = 请 填 空 用分布函数表示概率