医学高数：《高等数学》课程教案讲稿（大学医科数学）第四章 定积分及其应用 4.3－4.5 定积分的计算、反常积分、定积分的应用

Chap 4.3 定积分的计算

Chap 4.3 定积分的计算

> 由Newton--Leibnitz公式，定积分的计算 归结为求被积函数的原函数，从而与不定积分 联系起来 >积分表依然重要 例计算下列定积分 (2sexd

¾ 由Newton-Leibnitz 公式，定积分的计算 归结为求被积函数的原函数，从而与不定积分 联系起来 ¾ 积分表依然重要 例 计算下列定积分 dx x ∫ + 10 2 1 1 )1( xdx ∫ 30 2 sec)2( π

■定积分的凑微分法 「f(x)d=F(x)+C,f与p连续，则 (x()d-F(px) 例计算下列定积分 7π (2) 6sinx cos2 xdx 3 o f 3r-4 dx

■ 定积分的凑微分法 ∫ += ,)()( fCxFdxxf 与ϕ′连续，则 b a b a ϕϕ ′ = ϕ xFdxxxf ))(()())(( ∫ 例 计算下列定积分 7 2 2 3 (2) 6sin cos x xdx π ∫ π 3 2 2 (3) 2 32 dx dx x x + − ∫ ∫ + 20 2 1 )1( x xdx

>一个重要的结论 0, f(x)为奇函数 工心d-2,0)为码函数 例求下列积分 (1)I=(acosx+bsinx)dx

¾ 一个重要的结论 ∫ ∫ − ⎪⎩⎪⎨⎧ = aa a xfdxxf xf dxxf 为偶函数 为奇函数 )(,)(2 )(,0 )( 0 例 求下列积分 dxxbxaI ∫− = + 2 2 2 )sincos()1( π π dx x dx I ∫− + = 22 cos1 )2( π π

H.W 习题4 10(3)-(6) 10(7)(9)(10) 11(1) (5)-(13) (17)

H.W 习题4 10 (3)－(6) 10 (7)(9)(10) 11 (1) (5)-(13) (17)

■定积分的第二换元法 f(x)∈C[a,b],'连续，w(a)=a,w(B)=b 当t在a,B之间时，w(t)∈[a,b],则 〔fx)dk=∫f0w0w'o)d 例求下列定积分 1-小s (a>0) (2)1=ve-1a

■ 定积分的第二换元法 ∈ baCxf ,],[)( ψ ′连续， ψ α = ψ β )(,)( = ba 当t 在 , βα 之间时，ψ ∈ bat ],,[)( 则 ∫∫ = ′ βα ψψ dtttfdxxf ba )())(()( 例 求下列定积分 )1( )0( 2 4 22 > − = ∫ adx x ax I a a ∫ −= 10 )2( 1dxeI x

例f(x)是周期为T的连续函数，试证 fx=∫f) >两个公式 [f(sin.x))dk=后f(cosx))dk ["f(sinx)=2f(sinx)dx 从几何上考虑，这两个公式都是自然的

例 f (x)是周期为T 的连续函数，试证 0 () () a T T a f x dx f x dx + = ∫ ∫ dxxfdxxf ∫∫ = 20 20 )(sin )(cos π π ¾ 两个公式 dxxfdxxf ∫∫ = 2 0 0 )(sin2)(sin π π 从几何上考虑，这两个公式都是自然的

例 试求积分 no女 sinx sinx H.W 习题4 11(2)-(4),(14)-(16),(18)

4 2 4 4 0 sin (1) sin cos x dx x x π + ∫ 例 试求积分 H.W 习题4 11 (2)－(4) ， (14)－(16) ，(18) 4 4 4 0 sin (2) sin cos x dx x x π + ∫

■分部积分法（定积分） t',v'∈C[a,b]→ ∫wa=we-∫una ∫aw=n8-Jaa 例计算下列定积分 ()∫arctanxdx 2)∫elnx

■ 分部积分法(定积分) ′′ ∈ baCvu ],[, ⇒ ∫∫ ′ −= ′vdxuvudxvu ba ba 例 计算下列定积分 ∫∫ −= ba ba ba vduvuudv 1 (2) ln e e x dx dxx ∫ − ∫10 arctan)1(

(3) sin"xdx 0 >公式 (n-1)川 2 n为奇数 sin"xdcos"xd- nl! (n-1)！π n为偶数 nl! 2 例求∫sinxcosd

⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⋅ − − = ， 为偶数 ， 为奇数 n n n n n n 2!! !)!1( !! !)!1( π dxx n ∫ 20 sin π dxx n ∫ = 20 cos π 3 sin cos d x xx π ∫ π2 4 - 2 例 求 2 0 (3) sinn xdx π ∫ ¾ 公式