医学高数：《高等数学》课程教案讲稿（大学医科数学）第六章 多元函数微积分 6.1－6.2 多元函数及偏导数与全微分

Chap 6 多元函数微积分 上海交大乐经良

上海交大乐经良 Chap 6 多元函数微积分

Chap 6.1-2 多元函数 上海交大乐经良

上海交大乐经良 Chap 6.1－2 多元函数

6.1.1空间直角坐标系 选定原点O,作三条两两垂直 的数轴，标为x轴、y轴、z轴 (如图，可称为横轴，纵轴，竖轴) 就构成空间直角坐标系 约定：K,y,z轴成右手系（右手规则） 坐标平面：xOy平面，yOz平面，zOx平面 卦限：八个卦限 (由坐标平面将空间分成的8个部分)

6.1.1 空间直角坐标系 选定原点 O ，作三条两两垂直 的数轴，标为x 轴、y 轴、z 轴 就构成空间直角坐标系 约定： x,y ,z 轴成右手系(右手规则) 坐标平面 ：xOy平面， yOz平面, zOx平面 卦限：八个卦限 O x y z （如图,可称为横轴,纵轴,竖轴） （由坐标平面将空间分成的8个部分）

点与坐标 有了直角坐标系 P←-1→(x,y,z) 点←>坐标 可记为P(x,y,z) 点P1x1,2),P2(x2,2,22)的距离PP2 d=Vx2-x+(-y)2+(2-) 点P(x,y,z)与原点(0,0,0)间距离oP d=vx2+y2+z2

x O y P z y x ■ 点与坐标 z 点 坐标 可记为 P (x, y, z) 点 P1(x1, y1, z1) , P2(x2, y2, z2) 的距离⏐P1P2⏐ 有了直角坐标系 2 12 2 12 2 12 −+−+−= zzyyxxd )()()( )( 11 ←⎯→⎯ z,y,xP － 点 P(x,y,z) 与原点(0,0,0) 间距离⏐OP⏐ 222 ++= zyxd

建立了空间直角坐标的空间，记为R3 例求中心在(xo,yo,2)半径为R的球面方程 设球面上任意一点的坐标为(x,y),则 (x2-x)2+(2-y)2+(22-20)2=R2 球面方程 例求点P(2,-1,-3)到xOy平面和到x轴的距离， 且求P关于xOy平面、x轴和原点的对称点

建立了空间直角坐标的空间，记为 R 3 例 求中心在 (x0 , y0 , z 0 ) 半径为R 的球面方程 设球面上任意一点的坐标为 (x, y), 则 22 02 2 02 2 02 )()()( =−+−+− Rzzyyxx 球面方程 例 求点 P(2,-1,-3) 到 xOy 平面和到 x 轴的距离， 且求 P关于 xOy 平面、 x 轴和原点的对称点

6.1.2 多元函数概念 简单说，函数依赖的自变量多于一个称为 多元函数 设D是xy平面上的集合，依照规律f,D内 任一点(x,y),有唯一z与之对应， (x,y)→z 则称f是定义在D上的二元函数，记为 一 般由几条 z=f(x,y),(x,y)∈D 光滑曲线围 成（区域） 自变量 定义域

6.1.2 多元函数概念 简单说，函数依赖的自变量多于一个称为 设 D 是xy平面上的集合，依照规律 f , D 内 多元函数 任一点 (x,y ) ，有唯一 z 与之对应, zy,x ⎯⎯→f )( z = f x y x y),(),,( ∈ D 则称 f 是定义在 D上的二元函数，记为 自变量 定义域 一般由几条 光滑曲线围 成(区域)

二元函数包括两个要素（定义域、对应规律） 例设f(x,y)=x2+y2,求f(x十y,xy) 例已知fx+y,xy)=x3+y,求f(x,) 例求z=V4-x2-y2+ln(x2+y2-1) 的定义域

例 已知 ,),( 33 +=+ yxxyyxf 求 yxf ),( 二元函数包括两个要素（定义域、对应规律） 例 设 f (x, y) = x2+y2, 求 f (x＋y, x－y) 4 ln( )1 22 22 例 求 yxyxz −++−−= 的定义域

■二元函数图形（几何意义） 集合{(x,y,z)z=f(x,y),(x,y)∈D}所对应 几何图形称为二元函数的图形，一般而言是R3中 的一个曲面；曲面在xy面上的投影区域就是函数 的定义域D D

■ 二元函数图形(几何意义) 几何图形称为二元函数的图形，一般而言是R3中 集合 = ∈ Dyxx,yfzx,y,z }),(,)(){( 所对应 的一个曲面；曲面在xy 面上的投影区域就是函数 的定义域D x z y x z y D

>一些重要的几何图形及其方程 一.椭球面 =1 (a>0,b>0,c>0半轴) b2 X y

¾ 一些重要的几何图形及其方程 一.椭球面 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x ,c,ba >>> 000( 半轴） y x z

二.椭圆抛物面 +y2 a2 62 当=b,为旋转抛物面 三.双曲抛物面 x2 2 a

二.椭圆抛物面 2 2 2 2 b y a x z += x y z 当 a=b, 为旋转抛物面 三.双曲抛物面 z b y a x =− 2 2 2 2 x y z O