上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第二章 随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其概率分布

§2.3 连续型随机变量及其概率分布 一、 连续型随机变量的概念 定义设X是一随机变量，若存在一个非负 可积函数f(x),使得 F(x)=["f(t)dt -0<X<+0 其中F(x)是它的分布函数 则称X是连续型随机变量，f(x)是它的 概率密度函数(p.d.f.),简称为密度函数 或概率密度 注1：连续性随机变量的分布函数连续 注2：f(x)不唯一

§2.3 连续型随机变量及其概率分布 定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得 = ∫ − ∞ < < +∞ −∞ F x f t t x x ( ) ( )d 其中F ( x )是它的分布函数 则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的 概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度 一、连续型随机变量的概念 注1：连续性随机变量的分布函数连续. 注2：f (x) 不唯一

分布函数F(x)与密度函数f(x)的几何意义 f(x)个 F(x) y=f(x) X

-10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 x f ( x) x F ( x ) 分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义 y = f (x)

p.d.f.f(x)的性质 1、f(x)≥0 2、f(x)dx=F(+o)=1 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 随机变量的密度函数，或求其中的未知参数 3、在f(x)的连续点处，f(x)=F'(x) f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内 取值的概率 f(x,)△x≈P(x,<X≤x,+△x)

p.d.f. f ( x )的性质 1、 f (x) ≥ 0 2、 ( )d = (+∞) =1 ∫ +∞ −∞ f x x F 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 随机变量的密度函数，或求其中的未知参数 3、 在 f ( x ) 的连续点处， f (x) = F′(x) f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内 取值的概率 0 00 f x x Px X x x () ( ∆ ≈ < ≤ +∆ )

注意：对于连续型随机变量X,P(X=)=0 这里a可以是随机变量X的一个可能的 取值 事实上(X=a)c(a-x0 0≤P(X=a≤P(a-Ar<X≤a)=”f(x)dx 0≤P(X=a)≤1imf(x)dx=0 P(X=a)=0 命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零 强调概率为0()的事件未必不发生（发生）

注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0 这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的 取值 0 ≤ P(X = a) ≤ P(a − ∆x 0 强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)

对于连续型随机变量X P(a<X≤b)=P(a≤X≤b) =P(a<X<b) =P(a≤X<b) f(x)外 =f(x)dx=F(b)-F(@) b

对于连续型随机变量X P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) f (x)d x F(b) F(a) b a = = − ∫ b x f ( x) -10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 a

P(X≤b)=P(Xa)=P(X≥a=1-F(a) f(x)个 10

P(X ≤ b) = P(X a) = P(X ≥ a) =1− F(a) x f ( x) -10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 a

例有一批晶体管，已知每只的使用寿命X为 连续型随机变量，其概率密度函数为 x>1000 f(x)= x2 (c为常数) 0, 其他 (1)求常数c. (2)已知一只收音机上装有3只这样的晶体管， 每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使用 的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数所服 从的分布。 (3)这样的晶体管，使用的最初1500小时只有 一个损坏的概率

例 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为 2 , 1000 ( ) 0, c x f x x  >  =    其他 ( c 为常数) (1) 求常数 c. (2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管， 每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使用 的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数所服 从的分布。 (3) 这样的晶体管, 使用的最初1500小时只有 一个损坏的概率

fxux=日 令 解(1) c=1000 (2) 设事件A表示一只晶体管的寿命小于 1500小时 P(A)=P(0≤X<1500) -1= 设在使用的最初1500小时三只晶体管中 损坏的只数为Y~B33 6 r-0-c

解 (1) 2 1000 ( )d d 1 c fx x x x +∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ 令 c = 1000 (2) 设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于 1500小时 PA P X ( ) (0 1500) = ≤< 1500 2 1000 1000 1 d 3 x x = = ∫ 设在使用的最初1500小时三只晶体管中 损坏的只数为 Y 1 ~ 3, 3 B      (3) 2 1 3 12 4 ( 1) 33 9 PY C    = =    =   

例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成 正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与 圆心的距离，试求随机变量X的分布函数

例 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成 正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与 圆心的距离，试求随机变量 X 的分布函数．

解：若x<0,则(X≤x)是不可能事件，于是 F(x)=P(X≤x)=0 若0≤x<2,由题意，P(0≤X<x)=r2,k是某一常数 取x=2,有 P0≤X<2=2-k-4 即Po≤X<,于是 F()=PX≤)=PX<0+P0≤XS)= 4

解 : F(x) = P(X ≤ x) = 0 2 (0 ) , 4 x 即P Xx ≤<= 于是 F(x) = P(X ≤ x) 4 ( 0) (0 ) 2 x = P X < + P ≤ X ≤ x = 若x Xx < ≤ 0, ( ) 则 是不可能事件,于是 2 若0 2, , (0 ) , ≤ <x 由题意 P X x kx k ≤ < = 是某一常数. 2 2, 1 (0 2) 2 1, 4 x PX k k = ≤<= = = 取 有