上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲义）第六章 数理统计的基本概念 6.2 抽样分布

6.2 抽样分布 正态总体的抽样分布 何为抽样分布？为何需求抽样分布？ 1.统计量的分布为抽样分布。 2. 统计量是对总体分布律或数字特征进行推断的基础， 因此，在使用统计量进行统计推断时需知道其分布

6.2 抽样分布 何为抽样分布? 为何需求抽样分布？ 1 . 统计量的分布为抽样分布。 2. 统计量是对总体分布律或数字特征进行推断的基础， 因此，在使用统计量进行统计推断时需知道其分布。 正态总体的抽样分布

正态分布(Normal distribution) 若X,X,Xi远dN(4,) 则 2axN2a4iaa】 特别地， 若X,X…,X。i达d.XNu,o) i.i.d. 则 不2x州“网 2

• 正态分布(Normal distribution) 则       ∑ ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i i i a X N a a 1 2 2 1 1 ~ µ , σ 特别地,         = ∑= n X N n X n i i 2 1 ~ , 1 σ 则 µ X X Xn , , , 1 2  ~ ( , ) 2 若 Xi N µ σ i.i.d. ~ 若 X X Xn , , , 1 2  ( , ) 2 N µi σ i i.i.d. ~

x(n)分布(n为自由度) 定义设X1,X2,…,Xn相互独立， 且都服从标准正态分布N(0,1),则 ∑X~x2(n) i=l n=1时，其密度函数为 1.2 --xe. 0.8 x>00.6 f(x)= √2 0.4 0.2 0, x≤0 6 10

2 χ ( ) n 分布 (n为自由度 ) 定义 设 X X Xn , , , 1 2  相互独立, 且都服从标准正态分布N (0,1),则 ∑= n i Xi n 1 2 2 ~ χ ( ) n = 1 时,其密度函数为      ≤ > = − − 0, 0 , 0 2 1 ( ) 2 2 1 x x e x f x x π

n=2时，其密度函数为 x>0 0 x≤0 为参数为1/2的指数分布

n = 2 时,其密度函数为      ≤ > = − 0, 0 , 0 2 1 ( ) 2 x e x f x x 为参数为1/2的指数分布

一般地，自由度为n的x(m)的密度函数为 x>0 2T() x≤0 其中， IT(x)=∫t-e'd 在x>0时收敛，称为T函数，具有性质 T(x+1)=xΓ(x), T(1)=1,T(1/2)=√元 T(n+l)=n!(n∈W)

     ≤ > = − − 0, 0 , 0 2 ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 2 x e x x f x x n n n Γ 一般地, 其中， ∫ +∞ − − = 0 1 (x) t e dt x t Γ 在x > 0 时收敛，称为Γ 函数，具有性质 ( 1) ! ( ) (1) 1, (1/ 2) ( 1) ( ), n n n N x x x Γ + = ∈ Γ = Γ = Γ + = Γ π ( ) 2 自由度为 n 的 χ n 的密度函数为

t2(n)分布 0.4 n=2 密度函数图 0.3 n=3 0.2 n=5 n=10 0. n=15 10 15 20 25

5 10 15 20 25 0.1 0.2 0.3 0.4 n=2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 15 分布 密度函数图 ( ) 2 χ n

x(n)分布的性质 I E(x2(n))=n,D(x"(n))=2n 2°若X1=x2(n),X2=X2(n),X1,X相互独立， 则X+X>x2(n十n) 3°n→o时，x2(n)→正态分布 4°x2(n)分布的上分位数有表可查 0.1 例如 0.08 n=10 0.06 X6s(10)=18.307 0.04 P(x2(10)>18.307=0.05 0.02 10 15X2m)

1 E( (n)) n, D( (n)) 2n 2 2 χ = χ =  α ( ) 2 ( ), ( ), , 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 X X n n X n X n X X 则 ＋ ～ ＋ 若 相互独立， χ = χ = χ  3 n → ∞时，χ2 (n) → 正态分布 4 χ2 ( n) 分布的上α 分位数有表可查 ( ) 分布的性质 2 χ n • 例如 ( ) 2 0.05 2 (10) 18.307 P (10) 18.307 0.05 χ χ = > = 5 10 15 20 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 n = 10 2 ( ) n χα

证1°设x2()）=∑X好X,N(0,)i=1,2,…,n i1 X1,X2,…,X,n相互独立， E(X)=0,D(X)=1,E(X)=1 则 -42x好=n D(X)=E(X4)-E2(X2)=2 ()2n

X X Xn , , , 1 2  相互独立, 证 1° 设 ∑= = = n i i i n X X N i n 1 2 2 χ ( ) ~ (0,1) 1,2,, 则 ( ) 0, ( ) 1, ( ) 1 2 = = = E Xi D Xi E Xi E( n ) E X n n i i  =      = ∑=1 2 2 χ ( ) d 3 2 1 ( ) 2 2 4 4 = = ∫ ∞ −∞ − E X x e x x i π ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 D Xi = E Xi − E Xi = D( n ) D X n n i i ( ) 2 1 2 2  =      = ∑= χ

t分布 定义设X~N(0,1),Y~x(n),X,Y相互独立， T 则T所服从的分布称为自由度为n的t分布其密 度函数为 f(t)= r2 1 -0<t<0 nx r n

t 分布 定义 则T 所服从的分布称为自由度为 n 的t 分布其密 度函数为 n Y X T = − ∞ < < ∞         +             + = + − t n t n n n f t n 2 1 2 1 2 2 1 ( ) Γ Γ π ~ (0,1) , ~ ( ), 2 设X N Y χ n X , Y 相互独立

0.2 0.1 n20 -3 -2 -1 2 3 t分布的图形（红色的是标准正态分布）

t 分布的图形(红色的是标准正态分布) n = 1 n=20 -3 -2 -1 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4