医学高数：《高等数学》课程教案讲稿（大学医科数学）第五章 微分方程 5.5 二阶线性微分方程

Chap 5-5 二阶线性微分方程

二阶线性微分方程 Chap 5 ― 5

5.5.1二阶线性微分方程形式与性质 二阶线性微分方程的标准形式 y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) (NHL) p(x、q(x)称为方程的系数，f(x)称为非齐次项 若f(x)≡0，得到 二阶齐次线性微分方程 y"+p(x)y'+q(x)y=0 (HL

二阶线性微分方程的标准形式 ′′ + ′ + = xfyxqyxpy NHL)()()()( 5.5.1 二阶线性微分方程形式与性质 若 f (x) ≡ 0, 得到 二阶齐次线性微分方程 ′′ + ′ + yxqyxpy = 0)()( HL )( p (x ) 、 q (x )称为方程的系数, f (x )称为非齐次项

>线性相关与无关 对函数y(x),2(x),若存在不全为零常数c1,c2,使 C1y1(x)+C2y2(x)=0 则称y(x),y2(x)线性相关，否则称它们线性无关 乃(x),y2(x)线性相关 充分必要条件 )其中一个是另一个的常数倍 >叠加原理 若y(x)、y2(x)是齐次方程(HL)的的解，那么

¾ 线性相关与无关 对函数 ),(),(1 2 xyxy 若存在不全为零常数c1,c2, 使 0)()(11 + 22 xycxyc ≡ )(),(1 2 则称 xyxy 线性相关，否则称它们线性无关 )(),(1 2 xyxy 线性相关 ←⎯ → 充分必要条件⎯⎯⎯ 其中一个是另一个的常数倍 若y1(x)、 y2(x)是齐次方程(HL)的的解，那么 ¾ 叠加原理

y(x)和yx)十y2(x)也是齐次方程(HL)的解 ■齐次方程解的结构定理 若yx)、y2(x)是齐次方程(HL)的两个线性无关 的解（称它们为方程的基本解组），那么通解 c1y1(x)+C2y2(x)( C1,C2任意常数) 给出了方程(HL)的所有解

■ 齐次方程解的结构定理 若y1(x)、 y2(x)是齐次方程(HL)的两个线性无关 的解(称它们为方程的基本解组)，那么通解 c1 y1(x) + c2 y2(x) （c1,c2任意常数） 给出了方程（HL）的所有解. ky1(x) 和 y1(x)＋y2(x)也是齐次方程(HL)的解

求解二阶齐次线性方程归结为： 求出两个线性无关的解（即基本解组）. >若知道一个解，可以求用常数变易法求出 另一个线性无关解 例已知方程x2y”+y-y=0的一个解为x 求方程的通解

求解二阶齐次线性方程归结为： 求出两个线性无关的解(即基本解组). ¾ 若知道一个解，可以求用常数变易法求出 另一个线性无关解 例 已知方程 0 2 ′′ + ′ yyxyx =− 的一个解为 x 求方程的通解

■非齐次方程解的结构定理 设y*(x)是非齐次方程(NLH)的解，而y1(x), y2(x)是对应的齐次方程的基本解组，那么通解 y=y(x)+qy(x)+cvz(x) (c1,c2是任意常数)给出了方程(NLH)的全部解 要求非线性方程(NLH)的通解，只要求出 一个特解和对应齐次方程的一个基本解组

■ 非齐次方程解的结构定理 设 y *(x) 是非齐次方程(NLH)的解，而 y1(x), y2(x)是对应的齐次方程的基本解组,那么通解 )()()( 11 22 * ++= xycxycxyy (c1,c2是任意常数)给出了方程(NLH)的全部解 要求非线性方程(NLH)的通解，只要求出 一个特解和对应齐次方程的一个基本解组

5.5.2常系数线性齐次方程的解 ·二阶常系数齐次方程的解 方程形式 y"+py'+9y=0 其中P,g一常数 令y=ex,得到 r2+pr+q=0 特征方程，这方程的两个根称为特征根

5.5.2 常系数线性齐次方程的解 方程形式 ′′ + ′ + qyypy = 0 其中 P,q — 常数 , xr 令 = ey 得到 0 2 qprr =++ 特征方程，这方程的两个根称为 特征根 ■ 二阶常系数齐次方程的解

情况讨论 (1) 特征方程有相异实根1，"2 基本解组：eix,ex (2) 特征方程有相同实根 基本解组：e,常变为法→e: (3) 特征方程有共轭复根α±邛 基本解组：ea+0)x,ea-x →e cos Bx,e sin Bx

情况讨论 (1) 特征方程有相异实根 r1,r2 基本解组： xrxr ee 21 , (2) 特征方程有相同实根 r rx rx ,e ⎯⎯ →⎯⎯ xe 常数变易法 基本解组： (3) 特征方程有共轭复根 α ±iβ 基本解组： xixi ee )()( , + − βαβα xexe x x β β α α ⎯⎯→ sin,cos

二阶齐次常系数微分方程的通解 特征根情况 通解形式 相异实根r1,r2 ce+cex 相同实根r cie+caxe"x 共轭复根x士iB CeaxCosBx+CexsinBx

特征根情况 通解形式 相异实根r1, r2 相同实根 r 共轭复根 xr xr ecec 1 2 1 + 2 rx xr excec1 + 2 α ± iβ xecxec x x β β α α cos sin 1 + 2 二阶齐次常系数微分方程的通解

例求解方程y"+5y+6y=0 例求解方程y”+4y'+9y=0 例求解方程y"-4y'+4y=0 H.W 习题5 6(2)(4)-(7)

例 求解方程 ′′ + ′ + yyy = 065 例 求解方程 ′′ + ′ + yyy = 094 例 求解方程 ′′ − ′ + yyy = 044 H.W 习题5 6 (2) (4) －(7)