上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿2）第七讲 幂级数解法与边值问题

第七讲、幂级数解法与边值问题 于江 例.Ain方程/”=xy,x∈R。 设方程有级数解 y-Son,reR. 于是 v-mo.-1 (n+a n(n-T)e-3(n+n+)o 代入Ay方程，可得 ∑m+2a+1n+3=a,-∑an-na-1=0 比较同类项，（幂级数的唯一性），可得递推公式 (a+2(n+1)an+2=am-,n=0,1,2, 于是， an+2=0, aa1=3mn+3nl3n-23n-3…7-6-4=6a1. 可得幂级数形式通解 y=2nn+a立cn

1‘˘!ò?Í){Ü>äØK uÙ ~. Airyêßy 00 = xy, x ∈ R" êßk?Í) y = X∞ n=0 anx n , x ∈ R. u¥ y 0 = X∞ n=0 nanx n−1 = X∞ n=0 (n + 1)an+1x n , y 00 = X∞ n=0 n(n − 1)anx n−2 = X∞ n=0 (n + 2)(n + 1)an+2x n . ì\Airyêßßå X∞ n=0 (n + 2)(n + 1)an+2x n = x X∞ n=0 anx n = X∞ n=0 an−1x n , a−1 = 0. '”aëߣò?Íçò5§ßå4Ì˙™ (n + 2)(n + 1)an+2 = an−1, n = 0, 1, 2, · · · u¥ß a3n+2 = 0, a3n = a0 3n(3n − 1)(3n − 3)(3n − 4)· · · 6 · 5 · 3 · 2 = bna0, a3n+1 = a1 (3n + 1)3n(3n − 2)(3n − 3)· · · 7 · 6 · 4 · 3 = cna1. åò?Í/™œ) y = a0 X∞ n=0 bnx 3n + a1 X∞ n=0 cnx 3n+1

注由达朗贝尔判别法，知级数对任意收敛。 考虑方程 是=fe以o)= (0.119 函数红，)在G内解析，即 -三a-a-w以G:k-asa-wsa 问题： →Cn=Pn(40,Ag1,A10…,An-10)≥lPn(a00ag1,a10,…,an-1.0jl= ICal s0.1.6边值问题 对于方程 ”+px)y+q(xy=0, (0.1.20) 其中p,q⊙∈C()。不通过求解，仅由p(,g()判断(0.120)解的性态，也 属于定性理论。Shum(18031855)为先驱

5dàKO{ß?ÍÈ?øx¬Ò" ************************* ƒêß dy dx = f(x, y), y(x0) = y0. (0.1.19) ºÍf(x, y)3GS)¤ß= f(x, y) = X∞ i,j=0 aij (x − x0) i (y − y0) j , G : |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b. ØKµ =⇒ Cˆ n = Pn(A00, A01, A10, · · · , An−1,0) ≥ |Pn(a00, a01, a10, · · · , an−1,0)| = |Cn| §0.1.6 >äØK Èuêß y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0, (0.1.20) Ÿ•p(·), q(·) ∈ C(J)"ÿœL¶)ß=dp(x), q(x)‰(0.1.20))5ßè ·u½5nÿ"Sturm£1803-1855§èk°