上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十六讲 高阶常系数线性非齐次微分方程——待定系数解法

第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方 程：待定系数解法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：待定系数解法

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本讲教学目的与目标 ·高阶常系数线性非齐次微分方程的待定系数解法 回顾： ·线性非齐次微分方程组通解的结构 口8+4二·生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：特定系数解法

˘Æ8Ü8I p~XÍÇ5ö‡gá©êßñ½XÍ){ £µ Ç5ö‡gá©êß|œ)( ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){

常系数线性非齐次微分方程的待定系数法 本讲讨论常系数n阶线性非齐次微分方程 L(y):=y(m)+aly(n-1)+...+an-1y+any=f(x), (1) 当非线性项fx)具有一些特殊形式时， 通过待定系数法求(1)特解的方法： 方程(1)的特征方程为 P(2)=入m+a12m-1+..+an-1入+an=0. (2) 口间中之#主42刀双0 张样：上将交通大学数学系第二十六讲、高阶常系数战姓非齐次微分方程：持定系数解法

~XÍÇ5ö‡gá©êßñ½XÍ{ ˘?ÿ~XÍ n Ç5ö‡gá©êß L(y) := y (n) +a1y (n−1) +...+an−1y 0 +any = f(x), (1) öÇ5ë f(x) ‰kò Aœ/™û, œLñ½XÍ{¶ (1) A)ê{µ êß (1) Aêßè P(λ) = λ n +a1λ n−1 +...+an−1λ +an = 0. (2) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){

下面就f(x)的具体形式用待定系数法求方程(1)的特解。 1.当f(x)=Pm(x)e,其中Pm(x)是一个m次多项式 微分方程(1)有形如 p*()=x2m(x)e, 的特解，其中 。k是当u为特征方程(2)的根时的重数 。如果u不是特征方程(2)的根，则k=0 。Qm(x)是待定的m次多项式. 张样：上涛交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：特定系数解法

e°“ f(x) ‰N/™^ñ½XÍ{¶êß (1) A)" 1.  f(x) = Pm(x)e µx , Ÿ• Pm(x) ¥òá m gıë™, á©êß (1) k/X φ ∗ (x) = x kQm(x)e µx , A), Ÿ• k ¥ µ èAêß (2) äû­Í XJ µ ÿ¥Aêß (2) ä, K k = 0 Qm(x) ¥ñ½ m gıë™. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){

2.当fx)=(Am(x)cos(Bx)+Bm(x)sin(Bx)e,其中 Am(x),Bm(x)是多项式，且max{degP,degom}=m, 微分方程(1)有形如 o*(x)=x(Cm(x)cos(Bx)+Dm(x)sin(Bx))eax, 的特解，其中 。k是当a+√一IB为特征方程(2)的根时的重数 。如果+√一IB不是特征方程(2)的根，则k=0 ·Cm(x),Dm(x)是待定的m次多项式. 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第二十六讲、高阶常系数战姓非齐次微分方程：持定系数解法

2.  f(x) = (Am(x) cos(βx) +Bm(x)sin(βx))e αx , Ÿ• Am(x), Bm(x) ¥ıë™, Ömax{degPm,degQm} = m, á©êß (1) k/X φ ∗ (x) = x k (Cm(x) cos(βx) +Dm(x)sin(βx))e αx , A), Ÿ• k ¥ α + √ −1β èAêß (2) äû­Í XJ α + √ −1β ÿ¥Aêß (2) ä, K k = 0 Cm(x), Dm(x) ¥ñ½ m gıë™. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){

引伸思考： 如果微分方程(1)中的f(x)不具有上面给定的形式，但它可以分 成几项的和，如 f(x)=f(x)+.+(x): 其中每个f(x)(i=1,,k)都具有上述形式，如何求特解？ 求法：对i=1,.,k,求每个 L(y)=fi(x), 的特解*(x)则原方程(1)有特解 φ*(x)=1(x)+..+φ(x). 张样：上海交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：特定系数解法

⁄g: XJá©êß (1) • f(x) ÿ‰k˛°â½/™, ß屩 §Aë⁄, X f(x) = f1(x) +...+fk(x), Ÿ•zá fi(x) (i = 1,..., k) —‰k˛„/™, X¤¶A)º ¶{: È i = 1,..., k, ¶zá L(y) = fi(x), A) φ ∗ i (x). Kêß (1) kA) φ ∗ (x) = φ ∗ 1 (x) +...+φ ∗ k (x). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){

应用举例 求方程 y"+2y+y=(x2-5)ex+sin(2x), (3) 的通解 解：由特征方程 12+2+1=0 得到特征根 入=-1（二重） 从而齐次方程的通解为 y(x)=cie-x+c2xe-x, 其中c1,c2是任意常数， 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上海交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：持定系数解法

A^fi~ ¶êß y 00 +2y 0 +y = (x 2 −5)e −x +sin(2x), (3) œ). ): dAêß λ 2 +2λ +1 = 0 Aä λ = −1 (­). l ‡gêßœ)è y(x) = c1e −x +c2xe−x , Ÿ• c1, c2 ¥?ø~Í. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){

考虑非齐次方程 y"+2y+y=(x2-5)e-x (4) 由于4=一1是二重特征值，所以微分方程(4)有特解 Oj(x)=x2(ax2+bx+c)e-x. 将其代入(4)并化简得 12a2+6bx+2c=x2-5. 比较该方程两边x的同次幂的系数得a=1/12,b=0,c=-5/2. 故方程(4)有特解 i=(- 张样：上海交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：特定系数解法

ƒö‡gêß y 00 +2y 0 +y = (x 2 −5)e −x . (4) du µ = −1 ¥­Aä, §±á©êß (4) kA) φ ∗ 1 (x) = x 2 (ax2 +bx+c)e −x . ÚŸì\ (4) øz{ 12ax2 +6bx+2c = x 2 −5. 'Tê߸> x ”gòXÍ a = 1/12, b = 0, c = −5/2. êß (4) kA) φ ∗ 1 = x 2  1 2 x 2 − 5 2  e −x . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){

考虑非齐次方程 y"+2y'+y=sin(2x). (5) 由于a+V一1B=0+2V√一1不是特征方程的根， 所以微分方程(5)有特解为*(x)=acos(2x)+bsin(2x). 将其代数(5)并化简得 (-3a+4b)cos(2x)-(4a+3b)sin(2x)=sin(2x). 比较该方程两边sin(2x),cos(2x)的系数得 a=-4/25,b=-3/25. 故方程（⑤）有特解 4 3 05=25cos2)-25sin(2x. 张样：上海交通大学数学系 第二十六讲高阶常系数线性非齐次微分方程：持定系数解法

ƒö‡gêß y 00 +2y 0 +y = sin(2x). (5) du α + √ −1β = 0+2 √ −1 ÿ¥Aêßä, §±á©êß (5) kA)è φ ∗ 1 (x) = acos(2x) +bsin(2x). ÚŸìÍ (5) øz{ (−3a+4b) cos(2x)−(4a+3b)sin(2x) = sin(2x). 'Tê߸> sin(2x), cos(2x) XÍ a = −4/25, b = −3/25. êß (5) kA) φ ∗ 2 = − 4 25 cos(2x)− 3 25 sin(2x). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){

综合上述两个微分方程的特解得到方程(3)的通解为 y(x)=cie-x+cxe-x 4 3 其中c1,c2是任意常数. 口8+4二·生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：特定系数解法

n‹˛„¸áá©êßA)êß (3) œ)è y(x) = c1e −x +c2xe−x +x 2  1 2 x 2 − 5 2  e −x | {z } − 4 25 cos(2x)− 3 25 sin(2x) | {z } , Ÿ• c1, c2 ¥?ø~Í. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){