上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第九讲 压缩映射原理与存在唯一性证明

第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第九讲、低缩映射原理与存在唯一性证明

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本讲教学目的与目标 压缩映射原理及其推广 微分方程初值问题解的存在唯一性定理及其证明 张祥：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明

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回顾与思考 回顾： ·距离空间、完备距离空间. 思考： ·如何在距离空间中定义映射，使得微分方程初值问题解的存 在唯一性与映射联系起来 抽象距离空间中映射的例子： 设f(x,y)∈C(a,b]×R).在C[a,b上定义映射 T6y)(x) -frsxn, y(x)∈C[a,b: (1) 则T是从Ca,b到C[a,bl的映射. 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明

£Üg £µ Âlòm!Âlòm. gµ X¤3Âlòm•½¬N, ¶á©êß–äØK) 3çò5ÜNÈXÂ5. ƒñÂlòm•N~f:  f(x, y) ∈ C([a,b]×R). 3 C[a,b] ˛½¬N T(y)(x) := Z x a f(s, y(s))ds, y(x) ∈ C[a,b]. (1) K T ¥l C[a,b]  C[a,b] N. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²

压缩映射及其性质 设(X,P)是距离空间，T:X→X是一映射. ·若3a∈[0,1)使得对x,y∈X有 p(Tx,Ty)≤p(x,y), 称T是X上的压缩映射，为压缩常数 ●若30∈X使得T0=o,称xo是T的不动点. 注： ·本讲的主要目的是用压缩映射证明微分方程解的存在唯一 性. 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明

ÿ†N9Ÿ5ü  (X,ρ) ¥Âlòm, T : X → X ¥òN. e ∃α ∈ [0,1) ¶È ∀x, y ∈ X k ρ(Tx,Ty) ≤ αρ(x, y), ° T ¥ X ˛ÿ†N, α èÿ†~Í. e ∃x0 ∈ X ¶ Tx0 = x0, ° x0 ¥ T ÿƒ:. 5µ ˘Ãá8¥^ÿ†Ny²á©êß)3çò 5. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²

命题15 距离空间上的压缩映射是连续的。 证：作为练习由读者自己完成 注：如果(1)中fx,y)关于y满足Lipschitz条件，且Lipschitz常 数L<1/(b-a).则T是C[a,b上的压缩映射. 下面的压缩映射原理 。又称为Banach不动点定理，是距离空间理论中的重要工具 之一 。它是由Stefan Banach(1892-1945,波兰数学家，现代泛函 分析的奠基人)于1922年给出的. 张样：上海交通大学数学系 第九讲、低缩映射原理与存在唯一性证明

·K 15 Âlòm˛ÿ†N¥ÎY" y: äèˆSd÷ˆgC§. 5: XJ (1) • f(x, y) 'u y ˜v Lipschitz ^á, Ö Lipschitz ~ Í L < 1/(b−a). K T ¥ C[a,b] ˛ÿ†N. e°ÿ†Nn q°è Banach ÿƒ:½n, ¥Âlòmnÿ•­áÛ‰ Éò. ߥd Stefan Banach (1892ı1945, Å=ÍÆ[, yìçº ©¤Cƒ<) u 1922 câ—. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²

压缩映射与不动点：压缩映射原理 (压缩峡射厚理) 假设 。X是完备的距离空间， 。T:X→X是压缩映射. 则存在唯一的z∈X使得Tz=乙，即T在X中有唯一的不动点. 讨论：一张含有你所在地的地图仍到地上，你会发现什么？ 口0·4之·4生+2刀a0 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明

ÿ†NÜÿƒ:µÿ†Nn (ÿ†Nn) b X ¥Âlòm, T : X → X ¥ÿ†N. K3çò z ∈ X ¶ Tz = z, = T 3 X •kçòÿƒ:. ?ÿ: ò‹¹k\§3//„E/˛ß\¨uyüoº ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²

证明思路分析： 。如何运用完备和压缩这两个条件 ●运用完备：如何构造合适的Cauchy点列 。运用压缩：证明点列的收敛 口年9+二￥4生42刀双0 张样：上将交通大学数学系第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明

y²g¥©¤ µ X¤$^⁄ÿ†˘¸á^á $^µX¤E‹·Cauchy: $^ÿ†µy²:¬Ò ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²

压缩映射原理的证明 1.证明不动点的存在性。构造Cauchy)序列。 设a是压缩映射T的压缩常数.对Hxo∈X,令 Xn=T"xo=T(Ta-1xo). 则{xn}cX是Cauchy列.事实上，对He>0,取N>0使得 aN 1-aP(X1,xo)<8. 对Vm∈N有 p(xm+1,xm）=p(Txm,Txm-1）≤ap(xm,m-1）=ap(Txm-l,Txm-2) ≤02p(xm-1,xm-2）≤.≤a"p(1,x0） 2 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明

ÿ†Nny² 1. y²ÿƒ:35" ECauchyS"  α ¥ÿ†N T ÿ†~Í. È ∀x0 ∈ X, - xn = T n x0 = T(T n−1 x0). K {xn} ⊂ X ¥ Cauchy . Ø¢˛, È ∀ε > 0,  N > 0 ¶ α N 1−α ρ(x1, x0) < ε. È ∀m ∈ N k ρ(xm+1, xm) = ρ(Txm,Txm−1) ≤ αρ(xm, xm−1) = αρ(Txm−1,Txm−2) ≤ α 2 ρ(xm−1, xm−2) ≤ ... ≤ α m ρ(x1, x0). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²

故当n,m>N(不妨设n>m) P(xm,xn）≤P(xm,xm+1)+p(xm+1,xm+2）+..+P(xn-1,xn） ≤(am+am+1+.+a-1)p(1,x0) amIan-m p()) 这就证明了{xn}是X中的Cauchy列. 。因X完备→3z∈X使得xn→z ●由xn=Txn-1和T的连续性→Tz=z 所以，z是T的一个不动点 口4艺”4生42分只0 张样：上将交通大学数学系第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明

 n,m > N £ÿî n > m§ ρ(xm, xn) ≤ ρ(xm, xm+1) +ρ(xm+1, xm+2) +...+ρ(xn−1, xn) ≤ ￾ α m +α m+1 +...+α n−1
ρ(x1, x0) = α m 1−α n−m 1−α ρ(x1, x0) ≤ α m 1−α ρ(x1, x0) < ε. ˘“y² {xn} ¥ X • Cauchy . œ X  =⇒ ∃z ∈ X ¶ xn → z. d xn = Txn−1 ⁄ T ÎY5 =⇒ Tz = z §±ßz ¥ T òáÿƒ:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²

2.证明不动点的唯一性 设y∈X是T的不动点，即Ty=y.则 p(y,z)=p(Ty,Tz)<ap(y,z). 因<1，所以p0,)=0,即y=z. 这就证明了不动点的唯一性： 口0·4之·4生+2刀0 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明

2. y²ÿƒ:çò5.  y ∈ X ¥ T ÿƒ:, = Ty = y. K ρ(y,z) = ρ(Ty,Tz) ≤ αρ(y,z). œ α < 1, §± ρ(y,z) = 0, = y = z. ˘“y² ÿƒ:çò5. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²