上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第十四讲 微分方程可积理论——首次积分的存在与判定

第十四讲、二阶线性微分方程的幂级数解法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 日161二”·生12月只0 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的器级数解法

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本讲教学目的与目标 ●提供一类变系数线性微分方程的一个解法 回顾： ·线性微分方程解的理论、求解方法（常系数、变系数） ·幂级数、及其收敛判别法 4口，6+4之·4生+2风0 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的幂级数解法

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本讲再次回到二阶线性齐次微分方程 y"+p(x)y'+g(x)y=0. (1) 设问： ●P,q应具有怎样的性质才有可能求出其幂级数解？ 定义： ·如果p(x),q(x)在和的某邻域解析，称o为(1)的常点. ·如果p(x)或q(x)在x0不解析，称xo为(1)的奇点. 口1艺”4主12月双 张样：上将交通大学数学系第十四讲、二阶线性微分方程的器级数解法

˘2g£Ç5‡gá©êß y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = 0. (1) ص p,q A‰kN5ü‚kåU¶—Ÿò?Í)? ½¬µ XJ p(x),q(x) 3 x0 ,ç)¤, ° x0 è (1) ~:. XJ p(x) ½ q(x) 3 x0 ÿ)¤, ° x0 è (1) ¤:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!Ç5á©êßò?Í){

幂级数解的理论：常点 首先考虑方程(1)在常点邻域解析解的收敛半径， 定理56 设p(x),9(x)在x-xo1可由递推公式通过co,c1表示 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的幂级数解法

ò?Í)nÿ: ~: ƒkƒêß (1) 3~:ç)¤)¬Òåª. ½n 56  p(x),q(x) 3 |x−x0| 1 åd4Ì˙™œL c0, c1 L´. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!Ç5á©êßò?Í){

分析思想引导： 。回忆高阶微分方程与方程组的关系 。原问题转化为线性微分方程组的同样的问题 ●回忆解析微分方程组解析解存在性的证明 。如何将解析微分方程组解析解存在性的证明合理地移植到线 性微分方程组？ 口年9+二￥4生42刀双0 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的器级数解法

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证：由于线性齐次微分方程(1)满足初始条件 y(xo)=yo,y(xo)=y1, 0,y1∈R, (2) 的初值问题通过变换y=z可化为二阶线性齐次微分方程组 y=z, y(xo)=yo, =-p(x)z-g(x)y,z(xo)=y1, 因此定理的证明可由下面的定理27得到.证毕. 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的暴级数解法

y: duÇ5‡gá©êß (1) ˜v–©^á y(x0) = y0, y 0 (x0) = y1, y0, y1 ∈ R, (2) –äØKœLCÜ y 0 = z åzèÇ5‡gá©êß| y 0 = z, y(x0) = y0, z 0 = −p(x)z−q(x)y, z(x0) = y1, œd½ny²åde°½n 27 . y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!Ç5á©êßò?Í){

设问：常点情况下，二阶线性齐次微分方程解析解的存在性和存 在区间问题都解决了。 ●奇点的邻域是否有收敛的幂级数解？ 幂级数解的理论：奇点情况 考虑二阶线性齐次微分方程(1)在奇点邻域解析解的存在性. 如果 p()= P(x) 2(x) q(x)= X-X0 (c-x02 (3) 且P(x),Q(x)在xo的某邻域可展成收敛的幂级数， P(xo)2+Q(xo)2≠0，称x0是方程(1)的正则奇点. 口1回”1怎”“主12月双0 张样：上海交通大学数学系 第十四讲，二阶线性微分方程的器级数解法

ص~:ú¹e, Ç5‡gá©êß)¤)35⁄ 3´mØK—)˚ " ¤:祃k¬Òò?Í)º ò?Í)nÿ: ¤:ú¹ ƒÇ5‡gá©êß (1) 3¤:ç)¤)35. XJ p(x) = P(x) x−x0 , q(x) = Q(x) (x−x0) 2 , (3) Ö P(x), Q(x) 3 x0 ,çå–§¬Òò?Í, P(x0) 2 +Q(x0) 2 6= 0, ° x0 ¥êß (1) K¤:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!Ç5á©êßò?Í){

例：判定二阶线性微分方程 x(1-x2)y”+y+x-1=0 和 x31+x2)y"+x2y+x-1=0 的奇点及其类型 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上涛交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的察级数解法

~: ½Ç5á©êß x(1−x 2 )y 00 +xy0 +x−1 = 0 ⁄ x 3 (1+x 2 )y 00 +x 2 y 0 +x−1 = 0 ¤:9Ÿa. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!Ç5á©êßò?Í){

定理57 设xo是方程(1)的正则奇点，且p(x)9(x)由(3)给出.则方 程(1)在0的某邻域内有收敛的广义幂级数解 =收-r2a以w0 (4) 其中ck,k≥1可以迭代地求出，V是方程(1)的指标方程 s(s-1)+P(xo)s+0(xo)=0. 的根（称为指标根）之一（如果指标根都是实的，V是其中最大的 一个；如果指标根是一对共轭复数，V是其中的任一个) 日+84艺·+主12月80 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的器级数解法

½n 57  x0 ¥êß (1) K¤:, Ö p(x),q(x) d (3) â—. Kê ß (1) 3 x0 ,çSk¬Ò2¬ò?Í) y(x) = (x−x0) ν ∞ ∑ k=0 ck(x−x0) k , c0 6= 0, (4) Ÿ• ck, k ≥ 1 å±Sì/¶—, ν ¥êß (1) çIêß s(s−1) +P(x0)s+Q(x0) = 0. ä (°èçIä) Éò (XJçIä—¥¢, ν ¥Ÿ•Åå òá; XJçIä¥òÈ
›EÍ, ν ¥Ÿ•?òá). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!Ç5á©êßò?Í){

思路分析： ·构造形式幂级数解 ·利用优级数法证明形式解的收敛性 证 1.确定方程(1)的形式解(4)： 由正则奇点的定义，不妨设P(x),Q(x)在x一xo<p内可展成收 敛的幂级数 P国=atk-oAQ=Ea-o (5) 2 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的察级数解法

g¥©¤µ E/™ò?Í) |^`?Í{y²/™)¬Ò5 y: 1.(½êß (1) /™) (4). dK¤:½¬, ÿî P(x), Q(x) 3 |x−x0| < ρ Så–§¬ Òò?Í P(x) = ∞ ∑ k=0 ak(x−x0) k , Q(x) = ∞ ∑ k=0 bk(x−x0) k . (5) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!Ç5á©êßò?Í){