上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第十讲 解的存在性——Peano定理

第十讲、解的存在性：Peano定理 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理

1õ˘!)35µPeano ½n ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

本讲教学目的与目标 如何减弱Picard定理的条件，使得保证解的存在性 连续性条件下，存在性定理的证明 回顾： Picard定理中常微分方程初值问题解的存在和唯一性的条 件 两个条件所起的作用 张祥：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理

˘Æ8Ü8I X¤~fPicard½n^á߶y)35 ÎY5^áeß35½ny² £µ Picard½n•~á©êß–äØK)3⁄çò5^ á. ¸á^á§Âä^ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

回顾与思考 设问与思考： ·只有连续性假设能否保证解的存在性？ ·方法上如何突破？ 本节将证明连续性即可保证微分方程初值问题解的存在性 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理

£Üg ØÜgµ êkÎY5bUƒy)35º ê{˛X¤‚ªº !Úy²ÎY5=åyá©êß–äØK)35. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

方法突破：Ascoli--Arzela引理 函数列{fn(x)},x∈ICR称为在I上 。一致有界，如果3K>0使得对所有的n∈N,x∈I都 有f(xl≤K; 。等度连续，如果对Ve>0都3δ>0使得对所有的n∈N, x1,x2∈I,只要x1-x2l<δ就有f(x)-fn(x2川≤e. 比较分析： ·一致有界与有界的区别与联系？ 。等度连续与一致连续的关系？ 日4艺”4主12月双0 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理

ê{‚ªµ Ascoli–Arzelà ⁄n ºÍ {fn(x)}, x ∈ I ⊂ R °è3 I ˛ òók., XJ ∃K > 0 ¶ȧk n ∈ N, x ∈ I — k |fn(x)| ≤ K; ›ÎY, XJ È ∀ε > 0 — ∃δ > 0 ¶ȧk n ∈ N, x1, x2 ∈ I, êá |x1 −x2| < δ “k |fn(x1)−fn(x2)| ≤ ε. '©¤µ òók.Ük.´OÜÈXº ›ÎYÜòóÎY'Xº ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

下面的结果给出函数列存在一致收敛的子列的充分条件. Ascoli--Arzela引理 如果函数列{fn(x)}在有界闭集I上 。一致有界、 ·等度连续， 则{f(x)}有子列在I上一致收敛. Ascoli--Arzela引理的证明几乎在每一本泛函分析的教科书都 有（参见张恭庆等的泛函分析讲义），但证明都是在抽象空间中给 出的. 教材的附录中有一个初等的证明， 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理

e°(Jâ—ºÍ3òó¬Òfø©^á. Ascoli–Arzelá ⁄n. XJºÍ {fn(x)} 3k.48 I ˛ òók.! ›ÎY, K {fn(x)} kf3 I ˛òó¬Ò. Ascoli–Arzelá ⁄ny²A3zò纩¤â÷— k (ÎÑ‹ˆü纩¤˘¬), y²—¥3ƒñòm•â —. ·N¹•kòá–y². ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

探究、思考与讨论： ●Ascoli--Arzela引理中的有界闭集I换成有限开区间，结论成 立？ 。Ascoli--Arzel点引理中的有界闭集I换成无穷区间，结论成 立？ 结论： 1)Ascoli--Arzela引理中的有界闭集I换成有限开区间，结论仍 然成立 2)Ascoli--Arzela引理中的有界闭集I换成无穷区间，结论未必 成立 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第十讲、解的存在性：Peano定理

&ƒ!gÜ?ÿµ Ascoli–Arzelá ⁄n•k.48 I ܧkÅm´m, (ÿ§ ·? Ascoli–Arzelá ⁄n•k.48 I ܧð´m, (ÿ§ ·? (ÿ: 1) Ascoli–Arzelá ⁄n•k.48 I ܧkÅm´m, (ÿE ,§·. 2) Ascoli–Arzelá ⁄n•k.48 I ܧð´m, (ÿô7 §·. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

解的存在性：Peano引理 定理19(Peano定理) 假设 ·fx,y)在开区域2CR2上连续， 。(x0,Jy0)∈2. 则初值问题 盘=f在，o= (1) 至少有一个定义在最大存在区间上的连续可微解 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理

)35: Peano ⁄n ½n 19 (Peano ½n) b f(x, y) 3m´ç Ω ⊂ R 2 ˛ÎY, (x0, y0) ∈ Ω. K–äØK dy dx = f(x, y), y(x0) = y0, (1) ñkòὬ3Åå3´m˛ÎYåá). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

分析： 。从Picard定理的证明，只需证初值问题(1)在xo的某邻域内 存在连续可微解即可. 。证明的关键是构造合适的连续函数空间中，及其上满足要求 的一致有界、等度连续函数列 日4艺”4主12月双0 张样：上将交通大学数学系第十讲、解的存在性：Peano定理

©¤: l Picard ½ny², êIy–äØK (1) 3 x0 ,çS 3ÎYåá)=å. y²'Ö¥E‹·ÎYºÍòm•, 9Ÿ˛˜vᶠòók.!›ÎYºÍ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

1.函数空间的构造 取 R:={(,y);x-xol≤a,y-yol≤b}C2 其中a,b>0.令 M=路L&=ma} 1=xo0+δ (x.y)ER 下证初值问题(1)的解在【上存在，即在函数空间C()上. 注：在[x0-δ，xo]上解的存在性类似可证，从略. 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理

1. ºÍòmE  R := {(x, y); |x−x0| ≤ a,|y−y0| ≤ b} ⊂ Ω, Ÿ• a,b > 0. - M = max (x,y)∈R |f(x, y)|, δ = min a, b M  , I = [x0, x0 +δ]. ey–äØK (1) )3 I ˛3, =3ºÍòm C(I) ˛. 5µ 3 [x0 −δ, x0] ˛)35aqåy, l—. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n

2.在1上构造Euler折线序列. 思想：以直代曲，然后取极限 对每个n,将I分成n等份，记分点为 {x0,,,n},其中x<为，0≤i<j≤n. 在I上构造Euler折线如下：过(o,%)作直线段 wi(x)=yo+f(xo:yo)(x-xo),xE[xo;x1]. 令y1=斯(.过(：1，y)作直线段 y2(x)=y1+f(x1,y1)x-x1),x∈1，x2] 依此方法，在每个区间[x,x+1]上构造直线段 4+1(x)=y+f(x,y)(x-),x∈，x+1], y=() 记a为这些直线段的并，称之为I上的Euler折线. 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理

2. 3 I ˛E Euler ÚÇS. gé: ±Üì­ß,￾4Å Èzá n, Ú I ©§ n °, P©:è {x0, x1,..., xn}, Ÿ• xi < xj , 0 ≤ i < j ≤ n. 3 I ˛E Euler ÚÇXe: L (x0, y0) äÜÇ„ ψ1(x) = y0 +f(x0, y0)(x−x0), x ∈ [x0, x1]. - y1 = ψ1(x1). L (x1, y1) äÜÇ„ ψ2(x) = y1 +f(x1, y1)(x−x1), x ∈ [x1, x2]. ùdê{, 3zá´m [xi , xi+1] ˛EÜÇ„ ψi+1(x) = yi +f(xi , yi)(x−xi), x ∈ [xi , xi+1], yi = ψi(xi). P γn è˘ ÜÇ„ø, °Éè I ˛ Euler ÚÇ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n