上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第六讲 线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程（1/2）

第六讲、线性微分方程常数变易法与 阶隐式方程1 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第六讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程】

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本讲教学目的与目标 进一步了解和掌握线性微分方程的本质特征和性质 掌握线性微分方程的一个新解法：常数变易法 一阶隐式方程的解法-y可解出的方程. 张祥：上海交通大学数学系 第六讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程1

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回顾与设问：线性微分方程 。回顾线性微分方程的解法和通解。 ●线性微分方程是否有其它有效的解法？ 。从通解可以进一步得到线性微分方程解的哪些本质特性？ 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第式讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程】

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线性微分方程及其实例 线性微分方程 dy +py=qx), (1) 其中p(x),q(x)在开区间(a,B)上连续 ●当q(x)≡0时，称(1)为线性齐次方程。 ·当q(x)丰0时，称(1)为线性非齐次方程 注：线性微分方程在实际生活中大量地用到，比如L回路电流 方程 0+R0=E0, 就是线性微分方程，其中 ●L是电感，R是电阻 。I(1)是电路的电流，E(t)是电源的电压. 口，0+4生··生+2风0 张样：上海交通大学数学系 第六讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程1

Ç5á©êß9Ÿ¢~ Ç5á©êß dy dx +p(x)y = q(x), (1) Ÿ• p(x), q(x) 3m´m (α,β) ˛ÎY  q(x) ≡ 0 û, ° (1) èÇ5‡gêß.  q(x) 6≡ 0 û, ° (1) èÇ5ö‡gêß. 5µÇ5á©êß3¢S)¹•å˛/^, 'X RL £¥>6 êß L dI dt (t) +RI(t) = E(t), “¥Ç5á©êß, Ÿ• L ¥>a, R ¥>{ I(t) ¥>¥>6, E(t) ¥> >ÿ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò¤™êß 1

线性微分方程的新解法：常数变易法 首先利用变量分离法求线性齐次方程 +p(xy=0, (2) 的通解 y=ce-fp(x)达， 其中c是任意常数， 其次将任意常数c换成关于x的函数c(x)得 y()=cx)efp恤 并将yx)代入方程(1)，通过化简得 (x)e-fp(x)d=q(x). 口+94二年生42刀双0 张样：上海交通大学数学系 第六讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程】

Ç5á©êß#){µ~ÍC¥{ ƒk|^C˛©l{¶Ç5‡gêß dy dx +p(x)y = 0, (2) œ) y = ce− R p(x)dx , Ÿ• c ¥?ø~Í. ŸgÚ?ø~Í c ܧ'u x ºÍ c(x)  y(x) = c(x)e − R p(x)dx , øÚ y(x) ì\êß (1), œLz{ c 0 (x)e − R p(x)dx = q(x). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò¤™êß 1

所以 c(x)=g(x)elptsesdx+c, 其中c是任意常数， 故线性非齐次方程(1)的通解为 y=ene（e+∫()ero 其中c是任意常数. 方法对比：试比较两种方法求解线性微分方程的优越？ 问题：线性微分方程通解的公式是用不定积分表示。 ·如何用定积分表示线性微分方程的通解？ ·线性微分方程初值问题的解如何表示？ 口号+4二4生+2)风 张样：上海交通大学数学系 第六讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程】

§± c(x) = Z q(x)e R p(x)dxdx+c, Ÿ• c ¥?ø~Í. Ç5ö‡gêß (1) œ)è y = e − R p(x)dx  c+ Z q(x)e R p(x)dxdx , Ÿ• c ¥?ø~Í. ê{È'µ£'¸´ê{¶)Ç5á©êß`º ØKµÇ5á©êßœ)˙™¥^ÿ½»©L´" X¤^½»©L´Ç5á©êßœ)º Ç5á©êß–äØK)X¤L´º ‹å: ˛°œåÆÍÆX 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò¤™êß 1

附注： ·对于0∈(，B),线性微分方程(1)满足初始条件 y(xo)=yo 的解为 y=c恤o+人tro.）eian 。线性方程(1)的通解也可用定积分来表示 y=ce6oi+广q0)epdt. 其中x0∈(，B)是任意取定的点，c是任意常数， 思考：从通解可以得到线性微分方程解的哪些进石步的信息？三2a。 张样：上将交通大学数学系第六讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程1

N5: Èu x0 ∈ (α,β), Ç5á©êß (1) ˜v–©^á y(x0) = y0 )è y = e − R x x0 p(s)ds  y0 + Z x x0 q(t)e R t x0 p(s)dsdt , x ∈ (α,β). Ç5êß (1) œ)èå^½»©5L´ y = c e − R x x0 p(s)ds + Z x x0 q(t)e R t x p(s)dsdt, Ÿ• x0 ∈ (α,β) ¥?ø½:, c ¥?ø~Í. gµlœ)å±Ç5á©êß)= ?ò⁄&Eº ‹å: ˛°œåÆÍÆX 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò¤™êß 1

线性微分方程解的性质 由上述通解和初值问题解的表达式，容易得到 命题9 ·线性齐次方程(2)的解或者恒等于零或者恒不等于零； 。线性方程(1)的解在p(x),q(x)连续的区间(a,B)上存在且 连续； ·线性齐次方程(2)解的任意线性组合仍是(2)的解； ·线性齐次方程(2)的解与非齐次方程(1)的解的和仍 是(1)的解； ·线性方程(1)两个解的差是(2)的解； ·线性微分方程(1)的初值问题的解存在唯一 Da0 张样：上海交通大学数学系 第六讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程】

Ç5á©êß)5ü d˛„œ)⁄–äØK)Là™, N¥ ·K 9 Ç5‡gêß (2) )½ˆðu"½ˆðÿu"; Ç5êß (1) )3 p(x), q(x) ÎY´m (α,β) ˛3Ö ÎY; Ç5‡gêß (2) )?øÇ5|‹E¥ (2) ); Ç5‡gêß (2) )Üö‡gêß (1) )⁄E ¥ (1) ); Ç5êß (1) ¸á)¥ (2) ); Ç5á©êß (1) –äØK)3çò. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò¤™êß 1

线性微分方程解的性质的深入探讨 目的：讨论线性微分方程周期解的存在性与解的极限性质。 例1：设a>0,f(x)是连续的2π周期函数，求微分方程 在+ay=fx, (3) 的周期解 解：方程(3)的通解为 y)-ce(ds. (4) 首先证明：y(x)是2π周期解←→y(2π)=y(O): 。必要性是显然. 张样：上海交通大学数学系 第火讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程1

Ç5á©êß)5ü\&? 8µ ?ÿÇ5á©êß±œ)35Ü)4Å5ü" ~ 1:  a > 0, f(x) ¥ÎY 2π ±œºÍ, ¶á©êß dy dx +ay = f(x), (3) ±œ). ): êß (3) œ)è y(x) = ce−ax + Z x 0 f(s)e a(s−x) ds. (4) ƒky²: y(x) ¥ 2π ±œ) ⇐⇒ y(2π) = y(0). 7á5¥w,. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò¤™êß 1

·充分性.令 2(x)=y(x+2π)： 则 来-奈c+2nj=-ot+2+e+2到=a因+fe 这就证明了zx)也是方程(3)的解， 又z(O)=y(2π)=y(O),由线性方程初值问题解的唯一性得 y(x+2π)=z(x)=y(x) 所以要找周期解，只需找满足y(2π)=y(O)的解。 张样：上海交通大学数学系 第六讲、线性微分方程常数变易法与一阶隐式方程】

ø©5. - z(x) = y(x+2π). K dz dx (x) = dy dx (x+2π) = −ay(x+2π)+f(x+2π) = −az(x)+f(x). ˘“y² z(x) è¥êß (3) ). q z(0) = y(2π) = y(0), dÇ5êß–äØK)çò5 y(x+2π) = z(x) = y(x). §±áȱœ)ßêIȘv y(2π) = y(0) )" ‹å: ˛°œåÆÍÆX 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò¤™êß 1