上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第十五讲 微分方程可积理论（首次积分之间的关系、与通解的联系）

第十五讲、微分方程可积理论：首次积分的存 在与判定 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第十五讲、微分方程可积理论：首次积分的存在与判定

1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»© 3ܽ ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

本讲教学目的与目标 ·微分方程首次积分的定义、判定和存在性 温故： ●通积分的定义、从通积分如何得到解. 问题：对于方程组是否有类似于通积分的东西？ 这就是首次积分的概念。 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第十五讲，微分方程可积理论：背次积分的存在与判定

˘Æ8Ü8I á©ê߃g»©½¬!½⁄35 ßµ œ»©½¬!lœ»©X¤). ØKµ Èuêß|¥ƒkaquœ»©¿‹º ˘“¥ƒg»©Vg" ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

微分方程可积理论既是经典的，又是现代的.它联系到现代数学 的各个分支，如 。经典和现代分析： Goriely A,Integrability and nonintegrability of dynamical systems,World Scientific,2001 。微分几何、Riemann几何和代数拓扑： Bolsinov AV and Fomenko AT,Integrable Hamilton systems:Geometry,Topology,Classifications,Chapman and Hall,2004 ·代数几何： Vanhaeche P,Integrable systems in the realm of Algebraic Geometry,Lect.Note Math.V.1638,2001 。Lie群、Lie代数与辛几何： Dufour JP.and Zung NT,Poisson structures and Their normal forms,Birkhauser,2005 Audin M,da Silva and Lerman E,Symplectic geometry of integrable Hamilton systems,Birkhauser,2003. 张样：上海交通大学数学系 第十五讲、敬分方程可积理论：首次积分的存在与判定

á©êßå»nÿQ¥²;, q¥yì. ßÈXyìÍÆ àá©|, X ²;⁄y쩤: Goriely A, Integrability and nonintegrability of dynamical systems, World Scientific, 2001 á©A¤! Riemann A¤⁄ì͡¿µ Bolsinov AV and Fomenko AT, Integrable Hamilton systems: Geometry, Topology, Classifications, Chapman and Hall, 2004 ìÍA¤µ Vanhaeche P, Integrable systems in the realm of Algebraic Geometry, Lect.Note Math. V.1638, 2001 Lie+!LieìÍÜ"A¤µ Dufour JP. and Zung NT, Poisson structures and Their normal forms, Birkhauser, 2005 Audin M, da Silva and Lerman E, Symplectic geometry of integrable Hamilton systems, Birkhauser, 2003 . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

首次积分的定义和判定 本讲介绍其中一些最基本的概念和理论 考虑n阶微分方程组 =fx,y,(,)∈D,i=1n (1) dx 其中DCR1+m是开区域 为了保证解的存在唯一性，本节始终假设方∈C(D),i=1,,n. 口@1怎：“主12月双0 张样：上将交通大学数学系第十五讲、微分方程可积理论：背次积分的存在与判定

ƒg»©½¬⁄½ ˘0Ÿ•ò ŃVg⁄nÿ. ƒ n á©êß| dyi dx = fi(x,y), (x,y) ∈ D, i = 1,...,n, (1) Ÿ• D ⊂ R 1+n ¥m´ç. è y)3çò5, !©™b fi ∈ C 1 (D), i = 1,...,n. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

首次积分的定义 设G是D的子区域.定义在G上的函数V(x,y)称为方 程(1)的首次积分，如果 ●V(x,y)∈C(G),且在G的任意子区域中都不恒为常数， ·对方程(1)在G中的任何一条积分曲线 r:={o(x)=(yi(x),...,yn(x));xEJ, 都有 V(x,o(x)=Cr,x∈J, 其中Cr是依赖于厂的常数. 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第十五讲、微分方程可积理论：首次积分的存在与判定

ƒg»©½¬  G ¥ D f´ç. ½¬3 G ˛ºÍ V(x,y) °èê ß (1) ƒg»©, XJ V(x,y) ∈ C(G), Ö3 G ?øf´ç•—ÿðè~Í, Èêß (1) 3 G •?¤ò^»©­Ç Γ := {φ(x) = (y1(x),..., yn(x)); x ∈ J}, —k V(x,φ(x)) ≡ CΓ, x ∈ J, Ÿ• CΓ ¥ù6u Γ ~Í. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

附注： 1)如果在首次积分的定义中，V(x,y)在G的某子区域2中恒 等于常数，则从V得不到方程(1)在2中的任何信息. 2)尽管方程组(1)定义在D上，但其首次积分未必能定义在整 个G上（见下面的例2）.这是在D的子区域上定义(1)的首 次积分的原因. 3)如果V(x,y)是(1)的一个首次积分，(z)是任一个连续函数， 则h(V(x,y)》也是(1)的一个首次积分. 日间中二”#主12刀双0 张样：上将交通大学数学系第十五讲、微分方程可积理论：背次积分的存在与判定

N5: 1) XJ3ƒg»©½¬•, V(x,y) 3 G ,f´ç Ω •ð u~Í, Kl V ÿêß (1) 3 Ω •?¤&E. 2) ¶+êß| (1) ½¬3 D ˛, Ÿƒg»©ô7U½¬3 á G ˛ (Ñe°~ 2). ˘¥3 D f´ç˛½¬ (1) ƒ g»©œ. 3) XJ V(x,y) ¥ (1) òáƒg»©, h(z) ¥?òáÎYºÍ, K h(V(x,y)) è¥ (1) òáƒg»©. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

设问： 。首次积分的定义中需要知道解，这给首次积分的判定带来极 大的困难。 ·能否给出简易的判定准则？ 命题30 假设 。V在G中连续可微， 。且在G的任何子区域上不恒等于常数. 则V是方程(1)在G中的首次积分的充要条件是 av+Vk+…+V6=0,c)∈G Ox dyn 证：作为练习请读者自己完成. 张样：上海交通大学数学系 第十五讲、微分方程可积理论：首次积分的存在与判定

Ø: ƒg»©½¬•Iá)ߢâƒg»©½ë54 å(J" Uƒâ—{¥½OKº ·K 30 b V 3 G •ÎYåá, Ö3 G ?¤f´ç˛ÿðu~Í. K V ¥êß (1) 3 G •ƒg»©øá^ᥠ∂V(x,y) ∂ x + ∂V(x,y) ∂ y1 f1(x,y) +...+ ∂V(x,y) ∂ yn fn(x,y) ≡ 0, (x,y) ∈ G. y: äèˆSû÷ˆgC§. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

首次积分的运用 例题： 1.二阶微分方程组 dx y =一y =X, dt 在R2中有首次积分V(亿，xy)=x2+y2 故其任何一条积分曲线都由某V(1,x,y)=c给出，从而 。或者是x=0,y=0, 。或者是以原点为中心的圆周， 日间4二主12刀双0 张样：上海交通大学数学系 第十五讲，微分方程可积理论：肯次积分的存在与判定

ƒg»©$^ ~K: 1. á©êß| dx dt = −y, dy dt = x, 3 R 2 •kƒg»© V(t, x, y) = x 2 +y 2 . Ÿ?¤ò^»©­Ç—d, V(t, x, y) = c â—, l ½ˆ¥ x = 0, y = 0, ½ˆ¥±:è•%±. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

2.求二阶微分方程组 dx =y-x(x2+y2-1)x2+y2-2), 多 (2) di =-x-y(x2+y2-1)x2+y2-2) 的首次积分，并用首次积分判定方程组(2)的积分曲线： 解：从方程组(2)的表达式得 xx(0)+yy0)=-(x2+y2)x2+y2-1)x2+y2-2), y()-xy()=x2+y2. 对上式积分得到(2)的首次积分 V1(,x,y)=(2+y2)0x2+y2-2)x2+y2-1)-2e V2(t,x,y)=arctan+1. 注意：尽管方程组(2)在R3上有定义且解析，但其首次积分只 在R3的子区域上有定义. 张样：上海交通大学数学系 第十五讲、微分方程可积理论：首次积分的存在与判定

2. ¶á©êß| dx dt = y−x(x 2 +y 2 −1)(x 2 +y 2 −2), dy dt = −x−y(x 2 +y 2 −1)(x 2 +y 2 −2), (2) ƒg»©, ø^ƒg»©½êß| (2) »©­Ç. ): lêß| (2) Là™ xx0 (t) +yy0 (t) = −(x 2 +y 2 )(x 2 +y 2 −1)(x 2 +y 2 −2), yx0 (t)−xy0 (t) = x 2 +y 2 . È˛™»© (2) ƒg»© V1(t, x, y) = (x 2 +y 2 )(x 2 +y 2 −2)(x 2 +y 2 −1) −2 e 4t , V2(t, x, y) = arctan y x +t. 5ø: ¶+êß| (2) 3 R 3 ˛k½¬Ö)¤, Ÿƒg»©ê 3 R 3 f´ç˛k½¬. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ

利用极坐标变换x=rcos6,y=rsin6,从V1=c1和V2=c2解得 x= (3) 所以方程组(2)的积分曲线的分布如下： 。c1=0,(3)对应(2)的常数解：x=0,y=0和积分曲线：圆 周「2：={x=V2cos(c2-),y=V2sin(c2-t)} 。c1>0,(3)对应(3)的一条积分曲线，且该曲线当1→∞时盘 旋逼近「2 口年回1怎：主12月风0 张样：上将交通大学数学系第十五讲、微分方程可积理论：背次积分的存在与判定

|^4ãICÜ x = r cosθ, y = rsinθ, l V1 = c1 ⁄ V2 = c2 ) x = s 1± 1 p 1−c1e −4t cos(c2−t), y = s 1± 1 p 1−c1e −4t sin(c2−t). (3) §±êß| (2) »©­Ç©ŸXeµ c1 = 0, (3) ÈA (2) ~Í)µx = 0, y = 0 ⁄ »©­Çµ ± Γ2 := {x = √ 2 cos(c2 −t), y = √ 2 sin(c2 −t)}. c1 > 0, (3) ÈA (3) ò^»©­Ç, ÖT­Ç t → ∞ û ^%C Γ2. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ