上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第八讲 存在唯一性证明——距离空间和压缩映射原理

第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和 压缩映射原理 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压络映射原理

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本讲教学目的与目标 从本讲开始，连续四讲讲述第二章的内容： 微分方程初值问题解的存在性、唯一性、连续依赖性 作为研究微分方程初值问题解的存在性、唯一性的准备，也为同 学们了解现代分析一些基础知识 本讲主要介绍 距离空间的定义和基本性质 完备距离空间的压缩映射原理 张祥：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压缩映射原理

˘Æ8Ü8I l˘m©ßÎYo˘˘„1ŸSNµ á©êß–äØK)35!çò5!ÎYù65 äèÔƒá©êß–äØK)35!çò5O, èè” ÆÇ )y쩤ò ƒ:£ ˘Ãá0 Âlòm½¬⁄ƒ5ü Âlòmÿ†Nn ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn

回顾与思考 回顾：解的存在、唯一性定理。 思考：有可能从哪方面入手证明！ ●常微分方程初值问题解的存在唯一性的证明有多种方法。 ●大多数教科书采用的是Picard的逐次逼近法， ●本书将运用较为近代的证明方法，利用完备距离空间中的压 缩映射原理证明微分方程解的存在性等结论， ·压缩映射原理体现了现代分析的思想，有利于学生后续抽象 分析课程的学习. 口+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压蜜映射原理

£Üg £µ )3!çò5½n" gµ kåUl=ê°\Ãy²ú ~á©êß–äØK)3çò5y²kı´ê{. åıÍâ÷Ê^¥ Picard Åg%C{. ÷Ú$^èCìy²ê{, |^Âlòm•ÿ †Nny²á©êß)35(ÿ. ÿ†NnNy y쩤gé, k|uÆ)￾Yƒñ ©¤ëßÆS. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn

距离空间的定义和例子 温故： ●Rn中的距离有哪些定义？ 。R”中的距离在微积分中起到哪些作用？ 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压缩映射原理

Âlòm½¬⁄~f ßµ R n •Âlk= ½¬º R n •Âl3ứ•Â= ä^º ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn

R”中常见的距离定义 ·实数集R中任意x,y的距离通常定义为 p(x,y)=x-yl, 其中表示R中点的绝对值 ●对R”中任意两点x=(x1,,n),y=y1,,y), p(,y)=V/(1-y)2+.+(xn-n)2 定义了x与y之间的距离， 微积分中的 ·极限和函数的连续性， 。曲线的长度等等， 都离不开距离 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压络映射原理

R n •~ÑÂl½¬ ¢Í8 R •?ø x, y Âlœ~½¬è ρ(x, y) = |x−y|, Ÿ•|·|L´R•:˝Èä. È R n •?ø¸: x = (x1,..., xn), y = (y1,..., yn), ρ(x, y) = q (x1 −y1) 2 +...+ (xn −yn) 2 ½¬ x Ü y ÉmÂl. ứ• 4Å⁄ºÍÎY5ß ­Ç›, —lÿmÂl. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn

注意：二元函数p(,)满足下列性质：对x,y,之∈R”有 0p(x,y≥0，p(x,y)=0当且仅当x=y; op(x,y)=p(y,x); op(x,y)<p(x,z)+p(z,y). 问题： ●一般的抽象空间中如何定义距离？ 。为什么要在一般的抽象空间中定义距离？ 日间4二#主12刀双 张样：上将交通大学数学系第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压缩映射原理

5øµ ºÍ ρ(·,·) ˜ve5üµÈ ∀x, y,z ∈ R n k ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 Ö= x = y; ρ(x, y) = ρ(y, x); ρ(x, y) ≤ ρ(x,z) +ρ(z, y). ØKµ òуñòm•X¤½¬Âlº èüoá3òуñòm•½¬Âlº ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn

距离空间的定义 设X是任意非空集合.对x,y∈X,有一实数p(x,y)与之对应，且 满足： 1)非负性：p(x,y)≥0，p(x,y)=0→x= 2)对称性：p(x,y)=p,x): 3)三角不等式：对x,y,z∈X有p(x,y)≤p(x,)+p(z,y), 称 。p(x,y)为x与y之间的距离. ·称(X,p)为以p为距离的距离空间. 以后为方便起见，在距离已知的条件下，简称X是距离空间. 如果YCX,则(Y,P)也是一个距离空间，称之为X的子空间： 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空问和压蜜映射原理

Âlòm½¬ X¥?øöò8‹. È∀x, y ∈ X, kò¢Í ρ(x, y) ÜÉÈA, Ö ˜v: 1) öK5: ρ(x, y) ≥ 0ßρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; 2) È°5: ρ(x, y) = ρ(y, x); 3) nÿ™: È∀x, y,z ∈ Xk ρ(x, y) ≤ ρ(x,z) +ρ(z, y), ° ρ(x, y) è x Üy ÉmÂl. °(X,ρ) è±ρ èÂlÂlòm. ±￾èêBÂÑß3ÂlÆ^áeß{° X ¥Âlòm. XJ Y ⊂ XßK (Y,ρ) è¥òáÂlòm, °Éè X fòm. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn

注：距离关于它的变量是连续的 给定非空集合X. 问：是否总存在X上的距离使之成为距离空间？ 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压缩映射原理

5: Âl'ußC˛¥ÎY. â½öò8‹X . Ø:¥ƒo3 X ˛Âl¶É§èÂlòm? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn

距离空间的例子 C[a,b]空间 ●令C[a,bl表示定义在[a,bl上的连续函数全体构成的集合. 。对任意的x(t),y()∈Ca,b,定义 p(x,y)=maxx(t)-y(t儿 (1) tE a.b 则p(x,y)是C[a,b上的距离.从而C[a,b是以p(x,y)为距离的距 离空间. 口4号+4二4生￥2)及0 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压络映射原理

Âlòm~f C[a,b] òm - C[a,b] L´½¬3 [a,b] ˛ÎYºÍN§8‹. È?ø x(t), y(t) ∈ C[a,b], ½¬ ρ(x, y) = max t∈[a,b] |x(t)−y(t)|. (1) K ρ(x, y) ¥C[a,b] ˛Âl. l C[a,b]¥± ρ(x, y) èÂl lòm. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn

证：容易验证p满足距离定义中的非负性和对称性， 下证p满足三角不等式.对Hx(t),y(t),(t)∈C[a,b有 x(t)-y(t)川≤x(t)-z(t)川+k()-y(t)川 ≤ max ()-z(1)+max k()-y()l=p(x,z)+p(z,y) ela.b tela.b 故有 p(x,y)<p(x,z)+p(z,y). 所以p是C[a,b1上的距离.从而(C[a,b1,p)是一个距离空间. 口↑回”+怎：主12月双0 张样：上将交通大学数学系第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压缩映射原理

y: N¥y ρ ˜vÂl½¬•öK5⁄È°5. ey ρ ˜vnÿ™. È∀x(t), y(t),z(t) ∈ C[a,b]k |x(t)−y(t)| ≤ |x(t)−z(t)|+|z(t)−y(t)| ≤ max t∈[a,b] |x(t)−z(t)|+ max t∈[a,b] |z(t)−y(t)| = ρ(x,z) +ρ(z, y). k ρ(x, y) ≤ ρ(x,z) +ρ(z, y). §± ρ ¥ C[a,b] ˛Âl. l (C[a,b],ρ) ¥òáÂlòm. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn