上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（试卷习题）2012秋-ODE期中试卷（试题）

上海交通大学试卷 (2012至2013学年第1学期期中考试卷) 时间：2012年11月9日（周五） 班级 学号 姓名」 课程名称 常微分方程 成绩 一(30分)、求下列方程的解或通解（每题10分）（解答是按过程给分的）： 1y-()°-2密+ 22+()=1 80-封+品0=L 2 二(10分)、设f(x)是R上的连续可微函数，且f"(x川≤1/2.证明函数方程x=f(x) 在R上有唯一的解。 三(15分)、对于给定的二阶微分方程初值问题 器+鼎-=-0=1兽0=-山 1.问该初值问题是否有解析解，给出你结论的证明(10分) 2.如果有解析解指出它在原点的展开式的收敛半径(5分) 四(15分)、对于含参数的微分方程初值问题 是=在小)= (1) 其中(x0,0)∈2，入∈△，且2CR2和ACRm都是开区域. 1.叙述初值问题(1)的解的存在唯一性、以及解关于参数和初值的连续性定理(5分) 注：用一个定理叙述 2.给出你结论的证明的主要步骤(10分)

˛ ° œ å Æ £ Ú ( 2012 ñ 2013 Æc 1 1 Æœœ•£Ú) ûmµ2012c 11  9 F£± § Å? Æ“ 6¶ ë߶° ~á©êß §1 ò £30©§!¶eêß)½œ)(zK10©)£)â¥ULß⩧µ 1. y =  dy dx2 − 2x dy dx + 3 2 x 2 . 2. x 2 +  d 2 y dx2 2 = 1. 3. dy dx = 1 3 y 2 + 2 3x 2 , y(1) = 1.  £10©§! f(x) ¥ R ˛ÎYåáºÍ, Ö |f 0 (x)| ≤ 1/2. y²ºÍêß x = f(x) 3 R ˛kçò). n £15©§!Èuâ½á©êß–äØK d 2 y dx2 + (sin x) dy dx − e x y = x 2 − 3, y(0) = 1, dy dx(0) = −1, 1. ØT–äØK¥ƒk)¤), â—\(ÿy²£10©§. 2. XJk)¤)ç—ß3:–m™¬Ò媣5©§. o £15©§!Èu¹ÎÍá©êß–äØK dy dx = f(x, y, λ), y(x0) = y0, (1) Ÿ• (x0, y0) ∈ Ω, λ ∈ Λ, Ö Ω ⊂ R 2 ⁄ Λ ⊂ R m —¥m´ç. 1. Q„–äØK (1) )3çò5!±9)'uÎÍ⁄–äÎY5½n£5©§ 5µ^òá½nQ„ 2. â—\(ÿy²Ãá⁄½£10©§ 1

我承诺，我将严格遵 题号 二三四五六七八 守考试纪律。 得分 批阅人 承诺人： (流水阅 五(15分)入、假设f(r)在(0，∞)上连续，a>0是给定的常数，且1imf(r)=6,其中b 是有限数， 1.证明：方程 +aw=f, 只有一个解当x→0+时有有限的极限(10分). 2.给出这个解的表达式和相应的极限(5分). 六(15分)、在制造探照灯的反射镜面时，总是要求它把由一个点光源射出的光线平行地 反射出去 1.试求反射镜满足的平面微分方程(10分). 2.求出该方程的解(5分)

·´Ïß·ÚÓÇÑ Å£VÆ" ´Ï 0 ¥â½~Í, Ö lim x→0+ f(x) = b, Ÿ• b ¥kÅÍ. 1. y²µêß x dy dx + ay = f(x), êkòá) x → 0 + ûkkÅ4Å£10©§. 2. â—˘á)Là™⁄ÉA4Å£5©§. 8 £15©§!3õE&ÏẰû, o¥á¶ßrdòá:1 —1Dz1/ á—. 1. £¶áº˜v²°á©êߣ10©§. 2. ¶—Têß)£5©§. 2