上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（试卷习题）2010秋-ODE期末考试-A卷（试题）

上海交通大学试卷(A卷) （2010至2011学年第1学期) 时间：2011年1月14日（周五）13：10-15：10 班级 学号 姓名 课程名称 成绩 一(15分)、判定、选择和填空题： ①n阶非齐次线性方程组空=Ary+fa(4,f回)≠0在a,)上连续)在 a,)上有且只有n+1不线性无关的解乙 )。(判定题) (2)设(x)和()是同一个常系数齐次线性方程的两个基解矩阵，则它们之间的关 系是( ).(填空题) (3)设(x)是二阶方程+p(x)+q(x)y=0(p(c),q)∈C(a,b),R)的一个非零 解，则()在a,c(a,b)上零点的个数( )(一定有限，一定无 穷，可能有限也可能无穷)。（选择题） (④)在某区域上解析的微分方程在该区域的任意一点的某邻域中有唯一一个解析解 )。(判定题) (⑤)在某区域上连续可微的n阶常微分方程组在该区域上函数独立的首次积分的个数 最多为( )。(填空题) 二(40分)、求下列方程的通解或初值问题的解： (任)(w-() 回++尝+= 间2V器+20%=当r=1时，2=y 国完+瑞+-院=0当=时“=加-1

˛ ° œ å Æ £ Ú ( A Ú) ( 2010 ñ 2011 Æc 1 1 Æœ) ûmµ2011c114F(± ) 13:10–15:10 Å? Æ“ 6¶ ë߶° §1 ò £15©§!½!¿J⁄WòKµ (1) n ö‡gÇ5êß| dy dx = A(x)y + f(x) (A(x),f(x) 6≡ 0 3 (a, b) ˛ÎY§3 (a, b) ˛kÖêk n + 1 áÇ5Ã')£ §"£½K§ (2)  Φ(x) ⁄ Ψ(x) ¥”òá~X͇gÇ5ê߸áƒ)› ßKßÇÉm' X¥£ §.£WòK§ (3)  φ(x) ¥êß y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 (p(x), q(x) ∈ C((a, b), R)) òáö" )ßK φ(x) 3 [α, β] ⊂ (a, b) ˛":áÍ£ §£ò½kÅßò½Ã °ßåUkÅèåUð§"£¿JK§ (4) 3,´ç˛)¤á©êß3T´ç?øò:,ç•kçòòá)¤) £ §"£½K§ (5) 3,´ç˛ÎYåá n ~á©êß|3T´ç˛ºÍ’·ƒg»©áÍ Åıè£ §"£WòK§  £40©§!¶eêßœ)½–äØK)µ (1) dx dt =   2 −1 1 0   x +   0 2e t   , x(0) =   1 2  . (2) d 3 y dx3 + d 2 y dx2 + 4 dy dx + 4y = sin x. (3) 2√ x ∂z ∂x + 2√y ∂z ∂y = z, x = 1û, z = cos y. (4) x ∂u ∂x + y ∂u ∂y + (z − xy) ∂u ∂z = 0, x = 1û, u = yz − 1. 1

我承诺，我将严格遵 题号一二三四五六七八 守考试纪律。 得分 批阅人 承诺人： (流水阅) 三(15分)、讨论二维微分方程 t=2-1,9=工 两个平衡点是否稳定与渐近稳定，并给出你结论的证明（只有结论没有证明不得分）。 四(15分)、阐述在某区域？CR+1上连续可微的n阶常微分方程组 空-fe 的通解与函数独立的首次积分之间的关系，并给出你结论的证明。 五(9分)、求方程碧-密-2y=0的幂级数解（需要给出通项的表达式和收效半 径)。 六(6分)、设X0是R上连续可微的n阶方阵，X0=E,且XO存在。试证明 dt X(t+s)=X(t)X(s),for all t,s ER 当且仅当存在n阶常数方阵A,使得 dX()=AX(). dt

·´Ïß·ÚÓÇÑ Å£VÆ" ´Ï<: K“ ò  n o 8 ‘ l © 1< £6Y§ n £15©§!?ÿëá©êß x˙ = y 2 − 1, y˙ = x, ¸á²Ô:¥ƒ­½ÜÏC­½ßøâ—\(ÿy²£êk(ÿvky²ÿ©§" o £15©§!„3,´ç Ω ⊂ R n+1 ˛ÎYåá n ~á©êß| dy dx = f(x, y), œ)ܺ͒·ƒg»©Ém'Xßøâ—\(ÿy²" £9©§!¶êß d 2 y dx2 − x dy dx − 2y = 0 ò?Í)£Iáâ—œëLà™⁄¬Òå ª§" 8 £6©§! X(t) ¥ R ˛ÎYåá n ê ßX(0) = EßÖ dX(0) dt 3"£y² X(t + s) = X(t)X(s), for all t, s ∈ R Ö=3 n ~Íê A߶ dX(t) dt = AX(t). 2