上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（试卷习题）2009秋-ODE期末考试-A卷（试题）

(常微分方程)期终考试卷 数学系本科生用2010年1月14日13：10-15：10 姓名 学号 院系 成绩 一(10分)、设p(x),q()在区间JCR上连续，且y=(x)是方程 +e2+ew=0 在J上的一个非零解。证明(x)在J的任一闭子区间上有至多有限个零点。 二(15分)、求下列高阶微分方程的通解 ++y=2 三(15分)、求下列初值问题的解 (）+()-() 四(15分)、设DCR是开区域，f(x,)在D上解析。试叙述微分方程 是=c助 从D中点出发的解的存在性、唯一性和解析性定理。并给出该定理证明的主要步骤和 过程。 五(15分)、给定n阶微分方程 密=e 其中f(红，y)在Rm+1的某子区域D上连续可微。试就该方程的首次积分的结构（即最大 个数、所有可能的首次积分之间的表示关系)给出你的结论。并就你的结论给出证明 的主要思想和步骤。 六(15分)、求解下列偏微分方程初值问题 器+瑞+e-2-的架=0当=-1时=+ 七(15分)、考虑二阶微分方程 票+鼎+= 其中()在0，∞)上连续。试证明：如果mo)=0,则上述二阶方程的每个解当t一 ∞时都趋向零

h⑦❻➞➄➜i Ï➟⑧➪ò ê➷❳✢❽✮❫ 2010❝1✛14❋13:10–15:10 ✻➯ ➷Ò ✓❳ ↕✶ ➌ ↔10➞↕✦✗p(x), q(x)✸➠♠J ⊂ Rþë❨➜❹y = φ(x)➫➄➜ d 2 y dx2 + p(x) dy dx + q(x)y = 0, ✸Jþ✛➌❻➎✧✮✧②➨φ(x)✸J✛❄➌✹❢➠♠þ❦➊õ❦⑩❻✧✿✧ ✓ ↔15➞↕✦➛❡✎♣✣❻➞➄➜✛Ï✮ d 4 y dx4 + 2 d 2 y dx2 + y = cos 2x. ♥ ↔15➞↕✦➛❡✎Ð❾➥❑✛✮ dx dt =   1 2 2 1   x +   e t e t   , x(0) =   0 1   . ♦ ↔15➞↕✦✗D ⊂ R 2➫♠➠➁➜f(x, y)✸Dþ✮Û✧➪◗ã❻➞➄➜ dy dx = f(x, y), ❧D➙✿Ñ✉✛✮✛⑧✸✺✦➁➌✺Ú✮Û✺➼♥✧➾❽Ñ❚➼♥②➨✛❒❻Ú➼Ú ▲➜✧ ✃ ↔15➞↕✦❽➼n✣❻➞➄➜ dy dx = f(x, y), Ù➙f(x, y)✸R n+1✛✱❢➠➁Dþë❨➀❻✧➪Ò❚➄➜✛➘❣➮➞✛✭✟↔❂⑩➀ ❻ê✦↕❦➀❯✛➘❣➮➞❷♠✛▲➠✬❳↕❽Ñ❭✛✭Ø✧➾Ò❭✛✭Ø❽Ñ②➨ ✛❒❻❣➂ÚÚ➼✧ ✽ ↔15➞↕✦➛✮❡✎➔❻➞➄➜Ð❾➥❑ x ∂u ∂x + y ∂u ∂y + (z − x 2 − y 2 ) ∂u ∂z = 0, ✟x = −1➒, u = y 2 + z. Ô ↔15➞↕✦⑧➘✓✣❻➞➄➜ d 2 y dx2 + 5 dy dx + 6y = f(x), Ù➙f(x)✸[0,∞)þë❨✧➪②➨➭❳❏ limx→∞ f(x) = 0➜❑þã✓✣➄➜✛③❻✮✟t → ∞➒Ñ➟➉✧✧ 1