上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（试卷习题）2011秋-ODE期末考试-B卷（试题）

上海交通大学试卷(B卷) (2011至2012学年第1学期期末考试) 时间：2011年12月27日（周二）13：10-15：10上院102或104 班级 学号 姓名 课程名称 常微分方程 成绩 一(20分)、判定（正确的划，不正确的划×）选择和填空题： (1)周期系数（周期为T)齐次线性微分方程组的周期为2T的周期解的存在性与F1oqut乘 数之间的关系是： ,(填空题) ②)n阶齐次线性微分方程组空=Ary(4口)在(a,)上连续)的任意给定的n 个解构成的Wronsky行列式在(a,)上既可以有零点也可以有非零点一（判 定题) (3)假设q(x)在区间J=0,o∞)上连续，且q(x)≥1.则二阶齐次线性微分方程 +q(x)y=0的非零解(x)在J上零点的个数 (一定无穷、一定有 限、可能有限也可能无穷).（选择题） (4)二阶常系数线性微分方程花=3x+,9=-2x+y的奇点(0,0)是 (结 点、焦点、鞍点).（选择题） 二(20分)、求下列方程组初值问题的解和高阶微分方程的通解： 230 -e-I 2 100x e-t -2 dt 002 回是++出+= 三(12分)、设f(c)在[0，∞)上连续，且1imfc)=0.试证明二阶线性微分方程 "+5/+6y=f(x), 的任意解当x→时都趋于零 四12分)、证明n阶常系数线性微分方程组产=Ax的所有解当t→∞时都趋于 x=0的充要条件是A的所有特征值的实部都是负的.（需给出详细的推导证明过程

˛ ° œ å Æ £ Ú ( B Ú) ( 2011 ñ 2012 Æc 1 1 Æœœ"£) ûmµ2011c1227F(±) 13:10-15:10 ˛ 102 ½ 104 Å? Æ“ 6¶ ë߶° ~á©êß §1 ò £20©§!½((y √ , ÿ(y×)!¿J⁄WòKµ (1) ±œXÍ(±œè T)‡gÇ5á©êß|±œè 2T ±œ)35ÜFloquet¶ ÍÉm'X¥µ .£WòK§ (2) n ‡gÇ5á©êß| dy dx = A(x)y (A(x) 3 (a, b) ˛ÎY§ ?øâ½ n á)§ Wronsky 1™3 (a, b) ˛Qå±k":èå±kö": .£ ½K§ (3) b q(x) 3´m J = [0, ∞) ˛ÎY, Ö q(x) ≥ 1. K‡gÇ5á©êß y 00 + q(x)y = 0 ö") φ(x) 3 J ˛":áÍ .£ò½Ã°!ò½k Å!åUkÅèåUð).£¿JK§ (4) ~XÍÇ5á©êß x˙ = 3x + y, ˙y = −2x + y ¤: (0, 0) ¥ £( :!￾:!Q:).£¿JK§  £20©§!¶eêß|–äØK)⁄pá©êßœ)µ (1) dx dt =   2 3 0 1 0 0 0 0 2   x +   −e −t e −t e 3t   , x(0) =   2 −2 1   . (2) d 3 y dx3 + d 2 y dx2 + dy dx + y = sin x. n £12©§! f(x) 3 [0,∞) ˛ÎY, Ö limx→∞ f(x) = 0. £y²Ç5á©êß y 00 + 5y 0 + 6y = f(x), ?ø) x → ∞ û—™u". o £12©§!y² n ~XÍÇ5á©êß| dx dt = Ax §k) t → ∞ û—™u x = 0 øá^ᥠA §kA䢋—¥K. (Iâ—ç[Ìy²Lß) 1

我承诺，我将严格遵 题号 四五六 七八 守考试纪律。 得分 批阅人 承诺人： (流水阅 五(12分)、假设p(),q()在区间J上连续，且(x)和（）是二阶齐次线性微分方程 +p(x)+q(x)y=0在J上的两个线性无关的解.如果1,2∈J(c1<x2)是 ()的两个相邻的零点，试证明(x)在（1,2）上有唯一一个零点.（需给出详细的 推导证明过程) 六(12分)、假设)是R上周期为T的连续周期函数.证明纯量微分方程=ar 可以通过一个线性变换化为常系数线性微分方程血=侧.（需给出具体的变换和6的 表达式) 七2分)、求方程-密-=0的级数形式的道解（儒给出通项的表达式和 收敛半径)

·´Ïß·ÚÓÇÑ Å£VÆ" ´Ï<: K“ ò  n o 8 ‘ l © 1< £6Y§ £12©§!b p(x), q(x) 3´m J ˛ÎY, Ö φ(x) ⁄ ψ(x) ¥‡gÇ5á©êß y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 3 J ˛¸áÇ5Ã'). XJ x1, x2 ∈ J (x1 < x2) ¥ φ(x) ¸áÉ":, £y² ψ(x) 3 (x1, x2) ˛kçòòá":. (Iâ—ç[ Ìy²Lß) 8 £12©§!b a(t) ¥ R ˛±œè T ÎY±œºÍ. y²X˛á©êß dx dt = a(t)x 屜LòáÇ5CÜzè~XÍÇ5á©êß dy dt = by. (Iâ—‰NCÜ⁄ b  Là™) ‘ £12©§!¶êß d 2 y dx2 − x dy dx − 2y = 0 ò?Í/™œ). (Iâ—œëLà™⁄ ¬Òåª) 2