上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第五讲 初等积分法——几类可转化为恰当方程的方程

第五讲、初等积分法： 几类可转化为恰当方程的方程 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第玉讲、几类可转化为恰当方程的方程

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恰当方程的温习与回顾 。恰当方程的判定和求法 ●变量分离方程的求法 4口0·4之·4生+2月双0 张样：上涛交通大学数学系 第五讲、几类可转化为恰当方程的方程

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教学目的与目标 。齐次方程转化为变量分离方程 ●已知Riccati方程的一个解，转换为Bernoulli方程求解 。通过特殊变换转化为变量分离方程 口8+艺：4生2月双0 张样：上将交通大学数学系第玉讲、几类可转化为恰当方程的方程

Æ8Ü8I ‡gêß=zèC˛©lêß ÆRiccatiêßòá)ß=ÜèBernoulliê߶) œLAœCÜ=zèC˛©lêß ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!Aaå=zèTêßêß

2.齐次方程 。方程 杂=的 (1) 和 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, P,Q是m次齐次函数， (2) 都称为齐次方程。 ·函数P(x,y)称为m次齐次函数，如果对于任意的s>0都有 P(sx,sy)=s"P(x,y). 注：m次齐次函数F(x,y)满足Euler公式 xd F+yd F =mF 张样：上海交通大学数学系 第五讲、几类可转化为恰当方程的方程

2. ‡gêß êß dy dx = R y x  , (1) ⁄ P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, P,Q ¥ m g‡gºÍ, (2) —°è‡gêß. ºÍ P(x, y) °è m g‡gºÍ, XJÈu?ø s > 0 —k P(sx,sy) = s mP(x, y). 5: m g‡gºÍ F(x, y) ˜v Euler ˙™ x∂xF +y∂yF = mF ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!Aaå=zèTêßêß

齐次方程的解法 令y=,齐次方程(1)和(2)分别化为变量分离方程 du :=R(u)-u. 和 xm(P(1,w）+uQ(1,)d+xm+1Q(1,)du=0. 通过上述变量分离方程的求解可得到原方程(1)和(2)的求解. 关键点：认识齐次微分方程，掌握齐次微分方程的变换方法。 口1艺·4主12月双 张样：上将交通大学数学系第玉讲、几类可转化为恰当方程的方程

‡gêß){ - y = ux, ‡gêß (1) ⁄ (2) ©OzèC˛©lêß x du dx = R(u)−u. ⁄ x m (P(1,u) +uQ(1,u))dx+x m+1Q(1,u)du = 0. œL˛„C˛©lê߶)åêß (1) ⁄ (2)¶). 'Ö:µ @£‡gá©êßß›º‡gá©êßCÜê{" ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!Aaå=zèTêßêß

齐次方程的例子： 例1：求解方程 d d -y=xtan2 (3) 解：令 dy du y=xu→ =十 dx d 从而方程(3)转化为 du =tanu 区分u是否=0↓ 其通解为 sinu=cx, 其中c是任意常数 所以，方程(3)的通解为 y=xu xarcsin(cx), 其中c是任意常数。 张样：上海交通大学数学系 第五讲、几类可转化为恰当方程的方程

‡gêß~fµ ~ 1µ ¶)êß x dy dx −y = x tan y x . (3) )µ - y = xu =⇒ dy dx = u+x du dx l êß (3) =zè x du dx = tanu ´© u ¥ƒ = 0 ⇓ Ÿœ)è sinu = cx, Ÿ• c ¥?ø~Í §±, êß (3) œ)è y = xu = x arcsin(cx), Ÿ• c ¥?ø~Í" ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!Aaå=zèTêßêß

3.分式线性方程式 形如 (4) 的方程称为分式线性方程式： 方程(4)可化为变量分离方程.事实上 。当c=r=0时，(4)显然是齐次方程.从而可化为变量分离方 程 ●当△：=aq-bp=0时，不妨设a=入p,b=入q: 令u=px+q少，则方程(4)可化为变量分离方程 du =p+qf 张样：上海交通大学数学系 第玉讲、几类可转化为恰当方程的方程

3. ©™Ç5êß™ /X dy dx = f  ax+by+c px+qy+r  , (4) êß°è©™Ç5êß™. êß (4) åzèC˛©lêß. Ø¢˛  c = r = 0 û, (4) w,¥‡gêß. l åzèC˛©lê ß  ∆ := aq−bp = 0 û, ÿî a = λp, b = λq. - u = px+qy, Kêß (4) åzèC˛©lêß du dx = p+qf  λu+c u+r  . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!Aaå=zèTêßêß

0当△≠0，c2+r2≠0时，设(x0,0)是线性方程组 ax+by+c=0,px+gy+r=0 的唯一解.令 x=ξ+x0,y=n+y0, 则方程(4)可化为齐次方程 架-(+》 从而可化为变量分离方程 张样：上海交通大学数学系 第五讲、几类可转化为恰当方程的方程

 ∆ 6= 0, c 2 +r 2 6= 0 û,  (x0, y0) ¥Ç5êß| ax+by+c = 0, px+qy+r = 0 çò). - x = ξ +x0, y = η +y0, Kêß (4) åzè‡gêß dη dξ = f  aξ +bη pξ +qη  . l åzèC˛©lêß ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!Aaå=zèTêßêß

例2：求解方程 -x3+y2+x dx x2y+y3+3y (5) 解：令u=x2,v=y2,方程（⑤）转化为 dv -u+v+1 du u+v+3 (6) 代数方程 -u+v+1=0,u+v+3=0 有唯一解 l0=-1,0=-2. 令 u=5-1,v=n-2 方程(6)转化为 dn_+n dξ5+n 口年9+二￥4生42刀双0 张样：上海交通大学数学系 第玉讲、几类可转化为恰当方程的方程

~ 2µ ¶)êß dy dx = −x 3 +xy2 +x x 2y+y 3 +3y . (5) )µ - u = x 2 , v = y 2 , êß (5) =zè dv du = −u+v+1 u+v+3 . (6) ìÍêß −u+v+1 = 0, u+v+3 = 0 kçò) u0 = −1, v0 = −2. - u = ξ −1, v = η −2 êß (6) =zè dη dξ = −ξ +η ξ +η . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!Aaå=zèTêßêß

n=w5. 上述方程化为 dw w2+1 w+1 这是变量分离方程，求解得 In[(w2+1)2]+2arctanw=c, 其中c是任意常数 带回原变量得，方程（⑤）的通积分为 y2+2 n[62+12+02+2P]+2 arctan2+ =C, 其中c是任意常数。 张样：上海交通大学数学系 第五讲、几类可转化为恰当方程的方程

- η = wξ . ˛„êßzè ξ dw dξ = − w 2 +1 w+1 ˘¥C˛©lêß߶) ln[(w 2 +1)ξ 2 ] +2 arctanw = c, Ÿ• c ¥?ø~Í ë£C˛, êß (5) œ»©è ln (x 2 +1) 2 + (y 2 +2) 2 +2 arctan y 2 +2 x 2 +1 = c, Ÿ• c ¥?ø~Í" ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!Aaå=zèTêßêß