上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第十三讲 解析微分方程的解析解

第十三讲、解析微分方程的解析解 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解

1õn˘!)¤á©êß)¤) ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

本讲教学目的与目标 ●解析微分方程解的解析理论 温故： ·光滑微分方程的解关于初始条件和参数与微分方程有相同的 光滑性。 问题：如果微分方程解析，它的解是否也解析？ 本讲讨论解析微分方程解析解的存在性. 口1艺·4主12月双 张样：上将交通大学数学系第十三讲、解新微分方程的解折解

˘Æ8Ü8I )¤á©êß))¤nÿ ßµ 1wá©êß)'u–©^á⁄ÎÍÜá©êßkÉ” 1w5" ØKµ XJá©êß)¤ßß)¥ƒè)¤º ˘?ÿ)¤á©êß)¤)35. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

解析的定义 回顾： 。Taylor展开，C函数 ●幂级数及其收敛性， ●初等函数Taylor展开的收敛 例子： 。e,ln(1+x), sinx,tanx, ，x≠0 10, x=0, of(x)=xx,x∈NU{0} 张样：上海交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解

)¤½¬ £: Taylor –m, C ∞ ºÍ ò?Í9Ÿ¬Ò5ß –ºÍTaylor–m¬Ò ~fµ e x , ln(1+x), sinx, tanx, f(x) = ( e − 1 x 2 , x 6= 0 0, x = 0, f(x) = x n |x|, x ∈ N∪ {0} ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

对于n维向量y和yo, 下面将分别用片和y0表示它们的的第i个分量. 解析函数的定义： 函数f(x,y)在区域2CR1+n内解析，如果对(xo,yo)∈2， 3a>0,B>0使得f(x,y)在 D:={x,y:x-xol≤a,yi-yol≤B,i=1,,n}C2, 内可以展开成x一x0,y-yo的收敛的幂级数 fx,)=∑ac-o'y-wy ,0=0 其中(y-yo护=(y1-yo.(0n-yo产，jl=ji1+..+jm 张样：上海交通大学数学系 第十三讲，解折微分方程的解折解

Èu n ëï˛ y ⁄ y0, e°Ú©O^ yi ⁄ yi0 L´ßÇ1 i ᩲ. )¤ºÍ½¬µ ºÍ f(x,y) 3´ç Ω ⊂ R 1+n S)¤, XJÈ ∀(x0,y0) ∈ Ω, ∃α > 0,β > 0 ¶ f(x,y) 3 D := {(x,y); |x−x0| ≤ α,|yi −yi0| ≤ β,i = 1,...,n} ⊂ Ω, Så±–m§ x−x0, y−y0 ¬Òò?Í f(x,y) = ∞ ∑ i,|j|=0 aij(x−x0) i (y−y0) j , Ÿ• (y−y0) j = (y1 −y10) j1 · ... ·(yn −yn0) jn , |j| = j1 +...+jn. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

优级数、优函数的定义： 给定幂级数 ag(x-xo'(y-yo), (1) .l=0 Ac-xo(y-yo月， (2) ,l=0 ●如果al≤A,称(2)是(1)的优级数 ●如果(2)是(1)的优级数，且(2)在D上收敛， 记和函数为F(x,y) 称F(x,y)是(1)在D内的优函数. 张样：上海交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解

`?Í!`ºÍ½¬µ â½ò?Í ∞ ∑ i,|j|=0 aij(x−x0) i (y−y0) j , (1) ∞ ∑ i,|j|=0 Aij(x−x0) i (y−y0) j , (2) XJ |aij | ≤ Aij , ° (2) ¥ (1) `?Í; XJ (2) ¥ (1) `?Í, Ö (2) 3 D ˛¬Ò, P⁄ºÍè F(x,y) ° F(x,y) ¥ (1) 3 D S`ºÍ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

解析微分方程初值问题解析解的存在性 注：由于初始条件总可以通过变换转化到方程中，不失一般性我 们只考虑解析微分方程从坐标原点出发的解， 定理26 设f(x,y),i=1,,n,在D内可展成收敛的幂级数.则初值问题 =f(x,y),0)=0.i=1,,n (3) 在(0,0)的某邻域内有唯一的收敛的幂级数解，其中0表示n维 零向量 注： D:={(x,y:x-0l≤a,-0l≤B,i=1,,m}C2, 张样：上将交通大学数学系第十三讲、解斯微分方程的解析解

)¤á©êß–äØK)¤)35 5µ du–©^áo屜LCÜ=zêß•, ÿîòÑ5· Çêƒ)¤á©êßlãI:—u). ½n 26  fi(x,y), i = 1,...,n, 3 D Så–§¬Òò?Í. K–äØK y˙i = fi(x,y), yi(0) = 0, i = 1,...,n, (3) 3 (0,0) ,çSkçò¬Òò?Í), Ÿ• 0 L´ n ë "ï˛. 5µ D := {(x,y); |x−0| ≤ α,|yi −0| ≤ β,i = 1,...,n} ⊂ Ω, ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

在证明定理之前先看一个例子： 微分方程初值 =ax2+tan(x2+y+y), y1(0)=0, 2=sin(1+xy1y2), y2(0)=0 的解 。是否存在唯一？ ·存在区间是多少？ 。光滑性如何？ 。是否可以展开成收敛的幂级数？ 张样：上涛交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解

3y²½nÉckwòá~fµ á©êß–ä y˙1 = ax2 +tan(x 2 +y 2 1 +y 2 2 ), y1(0) = 0, y˙2 = sin(1+xy1y2), y2(0) = 0 ) ¥ƒ3çòº 3´m¥ıº 1w5X¤º ¥ƒå±–m§¬Òò?ͺ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

证明思路分析：如何去证明？ 。构造有解析解的微分方程， 。该微分方程展开式的系数控制(3)的展开式的系数 ·两个微分方程的解进行比较，通过优级数证明(3)的解析解 的存在性 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第十三讲、解斯微分方程的解折解

y²g¥©¤: X¤y²º Ek)¤)á©êßß Tá©êß–m™XÍõõ(3)–m™XÍ ¸áá©êß)?1'ßœL`?Íy²(3))¤) 35 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

定理26的证明 1.证明对任意的00使得 M G,)=0-)1-)1-名° 是f(x,y),i=1,…,n,在 Do={(x,y):x≤a,yl≤b,i=1,,n}CD, 上的优函数 张样：上海交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解

½n 26 y² 1. y²È?ø 0 0 ¶ G(x,y) = M ￾ 1− x a
￾1− y1 b
...￾ 1− yn b
, ¥ fi(x,y), i = 1,...,n, 3 D0 = {(x,y); |x| ≤ a,|yi | ≤ b,i = 1,...,n} ⊂ D, ˛`ºÍ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)

事实上，由假设 fi(x,y)= 8y水，i=lm (4) o+k|=0 在D上收敛.所以 o+k=0 收敛.令M为这n个量的最大值.则对所有的ko,k和i都有 M akobki...bkn 从而当(x,y)∈Do时 Gxy)=∑。 名y=-引0-4- M M 是f(x,y),i=1,,n,的优函数. 张样：上海交通大学数学系 第十三讲、解新微分方程的解折解

Ø¢˛, db fi(x,y) = ∞ ∑ k0+|k|=0 a (i) k0k x k0 y k , i = 1,...,n, (4) 3 D ˛¬Ò. §± ∞ ∑ k0+|k|=0    a (i) k0k    a k0 b k1 ...b kn , i = 1,...,n, ¬Ò. - M è˘ n á˛Ååä. Kȧk k0,k ⁄ i —k    a (i) k0k    ≤ M a k0 b k1 ...b kn . l  (x,y) ∈ D0 û G(x,y) = ∞ ∑ k0+|k|=0 M a k0 b k1 ...b kn x k0 y k = M ￾ 1− x a
￾1− y1 b
...￾ 1− yn b
, ¥ fi(x,y), i = 1,...,n, `ºÍ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)