上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十三讲 常系数线性齐次微分方程组基解矩阵的特征值与特征向量求法

第二十三讲、常系数线性齐次微分方程组 基解矩阵的特征值与特征向量求法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法

1õn˘!~XÍÇ5‡gá©êß| ƒ)› AäÜAï˛¶{ ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

本讲教学目的与目标 。常系数线性齐次微分方程组基解矩阵的特征向量求法 回顾： 常系数线性齐次微分方程组的矩阵指数函数解的求法 探究： 能否有简洁的求法？ 口1艺”4主12月双 张样：上将交通大学数学系第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征侧量求法

˘Æ8Ü8I ~XÍÇ5‡gá©êß|ƒ)› Aï˛¶{ £µ ~XÍÇ5‡gá©êß|› çͺÍ)¶{ &ƒµ Uƒk{'¶{? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

为阐述新方法需要线性代数的下列结论 命题46 设21，.，乙是矩阵A的所有互不相同的特征值，它们的重数分 别为n1,,n且m十.十n=n.则 ·线性代数方程组 (A-1Er9=0 (1) 有m个线性无关的解，记为r,j=1,,n 0n个向量8…，0,8，鼎线性无关 n.0 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上涛交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法

è„#ê{IáÇ5ìÍe(ÿ ·K 46  λ1,...,λs ¥› A §kpÿÉ”Aä, ßÇ­Í© Oè n1,...,ns Ö n1 +...+ns = n. K Ç5ìÍêß| (A−λiE) nir (i) 0 = 0, (1) k ni áÇ5Ã'), Pè r (i) j0 , j = 1,...,ni ; n áï˛ r (1) 10 ,..., r (1) n10 ,..., r (s) 10 ,..., r (s) ns0 Ç5Ã'. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

基解矩阵的特征向量求法 定理47 设矩阵A有互不相同的特征值入1，，入.它们的重数分别为 1.,ns 且n+.+ns=n. 记 为线性齐次代数方程组(1)的；个线性无关解，i=1,,s. 则对于常系数线性齐次微分方程组 dy =Ay, d (2) 下列结论成立： 日+4艺”4主12月双0 张样：上将交通大学数学系第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征侧量求法

ƒ)› Aï˛¶{ ½n 47 › A kpÿÉ”Aä λ1,...,λs . ßÇ­Í©Oè n1,...,ns Ö n1 +...+ns = n. P r (i) 10,..., r (i) ni0 èÇ5‡gìÍêß| (1)  ni áÇ5Ã'), i = 1,...,s. KÈu~XÍÇ5‡gá©êß| dy dx = Ay, (2) e(ÿ§·µ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

定理47（续） (@)如果s=m,则n=1,i=1,,n,8是的特征向量.矩阵 函数 Φe)=(e2r8,er8)） 是常系数线性齐次微分方程组(2)的基解矩阵； 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上海交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法

½n 47 (Y) (a) XJ s = n, K ni = 1, i = 1,...,n, r (i) 10 ¥ λi Aï˛. › ºÍ Φ(x) =  e λ1x r (1) 10 ,..., e λnx r (n) 10  , ¥~XÍÇ5‡gá©êß| (2) ƒ)› ; ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

定理47（续） (b)如果s1，j=1,.,m,令 r9=(A-1E)r月1,1=1，，m-1 则矩阵函数 ()(ep()())()) 是常系数线性齐次微分方程组(2)的基解矩阵，其中 i=1,5,j=1,,n. 日+4艺”4主12月双0 张样：上海交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特狂值与特征向量求法

½n 47 (Y) (b) XJ s 1, j = 1,...,ni , - r (i) jl = (A−λiE)r (i) j,l−1 , l = 1,...,ni −1. K› ºÍ Φ(x) =  e λ1xP (1) 1 (x),..., e λ1xP (1) n1 (x),..., e λsxP (s) 1 (x),..., e λsxP (s) ns (x)  , ¥~XÍÇ5‡gá©êß| (2) ƒ)› , Ÿ• P (i) j (x) = ni−1 ∑ k=0 x k k! r (i) jk , i = 1,...,s, j = 1,...,ni . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

证：(a).由于对应不同特征值的特征向量线性无关，所以 o=(88) 是非奇异矩阵.又 @2=(（a8人久r哈)=(A8A）=A 这就证明了Φ(x)是方程组(2)的基解矩阵】 (b).由命题43得 0)=(8…r0…,r) 非奇异. 张样：上海交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法

y: (a). duÈAÿ”AäAï˛Ç5Ã', §± Φ(0) =  r (1) 10 ,..., r (n) 10  , ¥ö¤…› . q dΦ(x) dx =  e λ1x λ1r (1) 10 ,..., e λnx λnr (n) 10  =  e λ1xAr(1) 10 ,..., e λnxAr(n) 10  = AΦ(x). ˘“y² Φ(x) ¥êß| (2) ƒ)› . (b). d·K 43  Φ(0) =  r (1) 10 ,..., r (1) n10 ,..., r (s) 10 ,..., r (s) ns0  , ö¤…. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

下面只需证明ep0(x),i=1,,s,j=1,,m是方程组(2)的 解.事实上， 到=a空的+宫安 = 名R-厅A-E)限 xh-1 其中在第4个等式中用到%-1=Ar9-1,这是由于 a-E)r%-1=(A-9-2==a-E严r月=0. 这就证明了(：是方程组(2)的基解矩阵.证半.。，·三，· 张样：上海交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特狂值与特征间量求法

e°êIy² e λixP (i) j (x), i = 1,...,s, j = 1,...,ni ¥êß| (2)  ). Ø¢˛, d dx  e λixP (i) j (x)  = λie λix ni−1 ∑ k=0 x k k! r (i) jk +e λix ni−1 ∑ k=1 x k−1 (k −1)! r (i) jk = λie λix ni−1 ∑ k=0 x k k! r (i) jk +e λix ni−1 ∑ k=1 x k−1 (k −1)! (A−λiE) r (i) j,k−1 = λie λix x ni−1 (ni −1)! r (i) j,ni−1 +e λix ni−2 ∑ k=0 x k k! Ar(i) jk = Ae λix ni−1 ∑ k=0 x k k! r (i) jk = Ae λixP (i) j (x), Ÿ•31 4 ᙕ^ λir (i) j,ni−1 = Ar(i) j,ni−1 , ˘¥du (A−λiE)r (i) j,ni−1 = (A−λiE) 2 r (i) j,ni−2 = ... = (A−λiE) nir (i) j0 = 0. ˘“y² Φ(x) ¥êß| (2) ƒ)› . y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

基解矩阵的进一步分析 1.定理47(a)要求n个互不相同的特征值，其实从证明可以得 到：如果A有n个线性无关的特征向量r1,,rm,对应的特 征值是入1，，入（可能有相等），则 是微分方程组(2)的基解矩阵. 张样：上涛交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法

ƒ)› ?ò⁄©¤ 1. ½n 47 (a) ᶠn ápÿÉ”Aä, Ÿ¢ly²å± µXJ A k n áÇ5Ã'Aï˛ r1,..., rn, ÈAA ä¥ λ1,...,λn (åUkÉ), K Φ(x) =  e λ1x r1,..., e λnx rn  , ¥á©êß| (2) ƒ)› . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{

2.若实矩阵A有复特征值入，则=元也是特征值（横表示共 轭).记 r8,r3=8,s∈{L,,} 分别是线性代数方程组(1)对应于入和入的解。 则基解矩阵(x是复的. 一方面可以从eA=Φ(x)Φ-l(0)得到实基解矩阵， 另一方面对于方程组(2)的任一对共轭复解 e4p和ep=ep(w, 可以通过令 ep(x)=u(x)+V-Iv(x),eP(x)=u(x)-V-Iv(x), 得到方程组(2)的两个实解(x)和v(x).再用这两个实解代 替基解矩阵中的这一对共轭复解即可得到实基解矩阵 )双0 张样：上海交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特狂值与特征间量求法

2. e¢› A kEAä λi , K λj = λi è¥Aä (ÓL´
›). P r (i) s0 , r (j) s0 = r (i) s0 , s ∈ {1,...,ni} ©O¥Ç5ìÍêß| (1) ÈAu λi ⁄ λj ). Kƒ)› Φ(x) ¥E. òê°å±l e xA = Φ(x)Φ−1 (0) ¢ƒ)› . ,òê°Èuêß| (2) ?òÈ
›E) e λixP (i) s (x) ⁄ e λjxP (j) s (x) = e λixP (i) s (x), 屜L￾e λixP (i) s (x) = u(x) + √ −1v(x), e λixP (i) s (x) = u(x)− √ −1v(x), êß| (2) ¸á¢) u(x) ⁄ v(x). 2^˘¸á¢)ì Oƒ)› •˘òÈ
›E)=境)› . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{