上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十讲 线性齐次和非齐次微分方程组（基本解组、通解和常数变易法）

第二十讲、线性齐次和非齐次微分方程组： 基本解组、通解和常数变易法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

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本讲教学目的与目标 。线性齐次微分方程组基本解组的判定 ●求非齐次方程组通解的常数变易法 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上海交通大学数学系第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

˘Æ8Ü8I Ç5‡gá©êß|ƒ)|½ ¶ö‡gêß|œ)~ÍC¥{ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{

基本解组与Wronsky行列式 回顾：线性微分方程组解的存在区间、通解的结构 定理39确保了n阶齐次微分方程组 =Axy,A)∈CW) d x∈J (1) 有且仅有n个线性无关解. 定义：齐次微分方程组(1)的任意n个线性无关解称为它的一个 基本解组 间题：如何用简洁的方法判定齐次方程的个解是否线性无关？ 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

ƒ)|ÜWronsky1™ £: Ç5á©êß|)3´m!œ)( ½n 39 ( n ‡gá©êß| dy dx = A(x)y, A(x) ∈ C(J), x ∈ J (1) kÖ=k n áÇ5Ã'). ½¬: ‡gá©êß| (1) ?ø n áÇ5Ã')°èßòá ƒ)|. ØKµX¤^{'ê{½‡gêß n á)¥ƒÇ5Ã'? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{

设 y1(x) yin(x) y1(x)= yn(x)= (2) yn1(x) ynn(x) 是(1)的n个解 。矩阵函数Y()=(01≤S称为方程组(1)的解矩阵。 ●如果y1(x),,ym(x)线性无关，称Y(x)为方程组(1)的基解 矩阵. ●解矩阵的行列式detY(x)称为解组(2)的Wronsky行列式. 日1艺”4主12月双0 张样：上将交通大学数学系第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

 y1(x) =   y11(x) . . . yn1(x)  , yn(x) =   y1n(x) . . . ynn(x)  , (2) ¥ (1)  n á). › ºÍ Y(x) = (yij)1≤i,j≤n °èêß| (1) )› . XJ y1(x),...,yn(x) Ç5Ã', ° Y(x) èêß| (1) ƒ) › . )› 1™ detY(x) °è)| (2)  Wronsky 1™. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{

齐次方程组的解组线性无关的判定与性质 命题40 关于线性齐次微分方程组(1)的解组(2)，下列结论成立： (a)方程(1)的解组(2)线性无关当且仅当W(x)≠0，x∈J; (b)方程(1)的解组(2)线性相关当且仅当W(x)三0，x∈J. o Wronski determinant was introduced by Jozef Hoene-Wronski(1812) Jozef Hoene-Wronski(23 August 1776-9 August 1853) was a Polish philosopher who worked in many fields of knowledge,not only as philosopher but also as mathematician,physicist,inventor,lawyer,and economist. 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

‡gêß|)|Ç5Ã'½Ü5ü ·K 40 'uÇ5‡gá©êß| (1) )| (2), e(ÿ§·: (a) êß (1) )| (2) Ç5Ã'Ö= W(x) 6= 0, x ∈ J; (b) êß (1) )| (2) Ç5É'Ö= W(x) ≡ 0, x ∈ J. Wronski determinant was introduced by J_zef Hoene-Wronski (1812) J_zef Hoene-Wronski (23 August 1776–9 August 1853) was a Polish philosopher who worked in many fields of knowledge, not only as philosopher but also as mathematician, physicist, inventor, lawyer, and economist. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{

证：首先证对xo∈J有 W(x)=W(ro)ef A(s)ds 称为Liouville公式， 其中trA(x)=a1u(x)十..十an(x)为矩阵函数A(x)的迹. 事实上，对W(x)求导数，并利用行列式的求导法则得 y11 yin .: aw(x) = =(trA(x))W(x). d a ∑aym j=1 ynl ynn 对上式两边从o到x积分即得Liouville公式. 命题(a)和(b)的结论从Liouville公式容易得到.证毕. 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

y: ƒkyÈ ∀x0 ∈ J k W(x) = W(x0)e R x x0 trA(s)ds , °è Liouville ˙™, Ÿ• trA(x) = a11(x) +...+ann(x) è› ºÍ A(x) ,. Ø¢˛, È W(x) ¶Í, ø|^1™¶{K dW(x) dx = ∑ 1≤i≤n                y11 ··· y1n . . . ··· . . . n ∑ j=1 aijyj1 ··· n ∑ j=1 aijyjn . . . . . . . . . yn1 ··· ynn                = (trA(x))W(x). È˛™¸>l x0  x »©= Liouville ˙™. ·K (a) ⁄ (b) (ÿl Liouville ˙™N¥. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{

例题：对于向量函数组 8品 判定 。它们是否是某个二阶齐次线性方程组在R上的两个解. ·如果不是，说明理由」 。如果是，给出相应的二阶齐次线性微分方程组。 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

~Kµ Èuï˛ºÍ| i) 1 x ! , x x 3 ! , ii) 1 x 2 ! , x x 3 +1 ! , ½ ßÇ¥ƒ¥,á‡gÇ5êß|3 R ˛¸á). XJÿ¥, `²nd. XJ¥, â—ÉA‡gÇ5á©êß|. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{

下面的结论给出线性齐次微分方程组(1)基解矩阵的性质」 推论41 设Φ(x)是方程组(1)的一个基解矩阵，下列结论成立： (a)y(x)=Φ(x)c是(1)的通解，其中c∈R是任意常数向量； (b)设C是n阶非奇异常数矩阵，则ΦC是(1)的基解矩阵： (c)若平(x)也是(1)的一个基解矩阵，则存在非奇异的n阶常数 矩阵C使得平(x)=ΦC. 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

e°(ÿâ—Ç5‡gá©êß| (1) ƒ)› 5ü. Ìÿ 41  Φ(x) ¥êß| (1) òáƒ)› , e(ÿ§·: (a) y(x) = Φ(x)c ¥ (1) œ), Ÿ• c ∈ R n ¥?ø~Íï˛; (b)  C ¥ n ö¤…~Í› , K ΦC ¥ (1) ƒ)› ; (c) e Ψ(x) è¥ (1) òáƒ)› , K3ö¤… n ~Í › C ¶ Ψ(x) = ΦC. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{

求解线性非齐次微分方程组的常数变易法 回顾：非齐次方程组通解的结构： ●定理39指出非齐次微分方程组（③）的通解由齐次微分方程 组(1)的通解与非齐次微分方程组(3)的一个特解构成： 设问与回顾： ·是否可以类似于一阶微分方程，从齐次方程的解得到非齐次 方程的解？ ·回忆一阶微分方程的常数变易法 口+4二4生￥2)及0 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

¶)Ç5ö‡gá©êß|~ÍC¥{ £: ö‡gêß|œ)(µ ½n 39 ç—ö‡gá©êß| (3) œ)d‡gá©êß | (1) œ)Üö‡gá©êß| (3) òáA)§. ØÜ£: ¥ƒå±aquòá©êßßl‡gêß)ö‡g êß)? ££òá©êß~ÍC¥{ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{

下面的定理给出如何从线性齐次微分方程组的通解得到线性非齐 次微分方程组的通解。 定理42 设Φ(x)是线性齐次微分方程组(1)的基解矩阵，则非齐次方程组 会=Aey+i x∈J=(,B)CR, (3) 的通解为 y因=(e+广'oo函) (4) 其中c∈R”是任意常数向量 口t回1艺·主12分只0 张样：上将交通大学数学系第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法

e°½nâ—X¤lÇ5‡gá©êß|œ)Ç5ö‡ gá©êß|œ). ½n 42  Φ(x) ¥Ç5‡gá©êß| (1) ƒ)› , Kö‡gêß| dy dx = A(x)y+f(x), x ∈ J := (α,β) ⊂ R, (3) œ)è y(x) = Φ(x)  c+ Z x x0 Φ −1 (s)f(s)ds , (4) Ÿ• c ∈ R n ¥?ø~Íï˛. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ)|!œ)⁄~ÍC¥{