《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第三章 复合运动（3.1）点的复合运动

理论力学 复合运动 李俊峰

理 论 力 学 李 俊 峰 ——复合运动

第三章复合运动 复合运动问题是研究物体相对于不同参考系的 运动之间的关系。例如在刚体平面运动和一般运动 中相对于平动坐标系和固定坐标系的运动之间的关系 复合运动不是一种新的运动形式,只是一种研 究运动学问题的思路和方法 为什么要研究复合运动问题: ☆研究动力学问题的需要例如牛顿定律只有在惯 性参考系下正确。 ☆研究简洁的运动学描述例如地心系和日心系中 行星运动

第三章 复合运动 复合运动问题是研究物体相对于不同参考系的 运动之间的关系。例如在刚体平面运动和一般运动 中相对于平动坐标系和固定坐标系的运动之间的关系。 复合运动不是一种新的运动形式，只是一种研 究运动学问题的思路和方法。 为什么要研究复合运动问题： ☆ 研究动力学问题的需要 例如牛顿定律只有在惯 性参考系下正确。 ☆ 研究简洁的运动学描述 例如地心系和日心系中 行星运动

第三章复合运动 复合运动的基本概念 设OZ是某参考坐标系(称为定 系),另一个坐标系Oxyz相对 OHYz以给定规律运动(称为动系), 即O点的运动和从oxyz到OHYz 的变换矩阵A(t)都是已知的。又 设p点为运动物体上的一个点 p点(物体)相对oxyz的运动称 Y 为相对运动,相对OYZ的运动 称为绝对运动或复合运动。Ox相应地可定义:相对 速度、加速度,牵连 相对Oz的运动称为牵连运动。速度、加速度等

第三章 复合运动 复合运动的基本概念 设 OXYZ 是某参考坐标系(称为定 系)，另一个坐标系 oxyz 相对 OXYZ 以给定规律运动(称为动系)， 即 o 点的运动和从oxyz 到 oXYZ 的变换矩阵 A(t) 都是已知的。又 设 p 点为运动物体上的一个点。 O X Y Z o X Y Z x y z p p 点(物体)相对oxyz 的运动称 为相对运动，相对OXYZ 的运动 称为绝对运动或复合运动。oxyz 相对OXYZ 的运动称为牵连运动。 相应地可定义：相对 速度、加速度，牵连 速度、加速度等

第三章复合运动 点的复合运动 §3-1点的复合运动 向量的绝对导数和相对(局部)导数 设向量F在定系和动系中的列阵分别为y和p。 它们的关系为r=4p。我们定义广为向量r的绝对 导数,定义Ap为向量r的相对导数或局部导数。 向量的相对导数还可以另记为:4。利用关系式 产=Ap+=AA+=Qxr+4i 可得绝对导数与相对导数的关系: 十0×F 其中⑥是动系相对定系的角速度

第三章 复合运动 点的复合运动 §3-1 点的复合运动 向量的绝对导数和相对（局部）导数 设向量 在定系和动系中的列阵分别为 和 。 它们的关系为 。我们定义 为向量 的绝对 导数，定义 为向量 的相对导数或局部导数。 r   r = A r  r r  A  r  dt dr ~ 向量的相对导数还可以另记为： 。利用关系式 = +  = +  =  +  −      r A A AA r A r A 1 可得绝对导数与相对导数的关系： 其中 是动系相对定系的角速度。 r dt dr dt dr     = + ~  

第三章复合运动 点的复合运动 速度合成公式 设p点为运动物体上的一个点,其相 对O和O向径满足下面关系式 R R=Ro+r=Ro+ Ap R0丶x 对时间求导得p点的绝对速度: R=Ro+0×r+Ap 向量形式为: p=1+0xF+ dr 其中W=称为相对速度,Ve=Vo+0×称为牵连速度

第三章 复合运动 点的复合运动 速度合成公式 O X Y Z o x y z p r  R  R0  设 p 点为运动物体上的一个点，其相 对 O 和 o 向径满足下面关系式 R = R0 + r = R0 + A 对时间求导得 p 点的绝对速度： = + +  R R 0 r A 向量形式为： p e r v v dt dr v v r        = + + = + ~ 0 其中 称为相对速度， 称为牵连速度。 dt dr vr   ~ = v v r e     = 0 +

第三章复合运动 点的复合运动 加速度合成公式 将速度公式对时间求导得p点的绝对加速度 a. +a.+a P C 其中a2=a+EX产+×(0×F)称为牵连加速度, (a1=)称为相对加速度 a=20×i(a4=0×4+A=20 O×卩 称为科氏加速度

第三章 复合运动 点的复合运动 加速度合成公式 将速度公式对时间求导得 p 点的绝对加速度 ap ae ar ac     = + + 其中 ae a0 r ( r) 称为牵连加速度，        = +  +  2 称为相对加速度， ~2 dt d r ar   = (a = A ) r 称为科氏加速度。 c r a v    = 2 ( 2 ) c r a =  A+ A = v  

第三章复合运动 点的复合运动 争例题3.1一根直管OP在ox平面内绕o转动,其运动 方程为(=Q(t 小球M在管内沿OP运动,其运动 方程为p=p(t)。求M的速度和加速度 解:取与管子固联的坐标系e1,,为 ●动参考系,则小球的相对运动是直线 ●运动,相对运动的速度和加速度分别 p 为:v 和 牵连运动是假想把小球在某瞬时冻结ˉO 在管子壁上,由管子拖带着它一起运 动。这个牵连运动是定轴转动,因此

第三章 复合运动 点的复合运动 例题 3.1 一根直管 OP 在 oxy 平面内绕 o 转动，其运动 方程为 。一小球 M 在管内沿 OP 运动，其运动 方程为  = (t) 。求 M 的速度和加速度。  = (t) x y   M o P 1 e  2 e  解：取与管子固联的坐标系 ， 为 动参考系，则小球的相对运动是直线 运动，相对运动的速度和加速度分别 为： 和 1 e  2 e  1 v e r    =  1 a e r    =  牵连运动是假想把小球在某瞬时冻结 在管子壁上，由管子拖带着它一起运 动。这个牵连运动是定轴转动，因此

第三章复合运动 点的复合运动 牵连运动的速度和加速度分别为 e=ppe ae=-ppe1tppe2 根据定义,科氏加速度为: 2(k× pope 争于是按照速度和加速度合成公式,M的速度和加速度 ●分别为: v=Ve tVr=pe pope d=a2+an+a=(-p2)1+(p6+2p)2 这与点的运动学中得到的极坐标公式完全一致

第三章 复合运动 点的复合运动 牵连运动的速度和加速度分别为： 2 v e e    =  1 2 2 a e e e      = − + 根据定义，科氏加速度为： 2 2 2 a k v e c r        =   =  于是按照速度和加速度合成公式， M 的速度和加速度 分别为： 1 2 v v v e e e r        = + =  + 1 2 2 a a a a ( )e ( 2 )e e r c            = + + = − + +  这与点的运动学中得到的极坐标公式完全一致

第三章复合运动 点的复合运动 作业题 10-41,10-42

第三章 复合运动 点的复合运动 作业题 10-41，10-42