《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第七章 刚体动力学（7.4）刚体定点运动动力学

第七章刚体动力学 刚体定点转动 ●§7-4刚体定点运动动力学 1运动微分方程 dt 取刚体固连坐标系oxyz G+× go dt os(e) 在刚体固连坐标系0xyz中方程的分量形式为

第七章 刚体动力学 刚体定点转动 §7- 4 刚体定点运动动力学 (e) Go Mo dt d   = 取刚体固连坐标系oxyz =    o o G J ( ) ~ e o o Go Mo dt d G G dt d      + = = 1 运动微分方程 在刚体固连坐标系oxyz中方程的分量形式为

第七章刚体动力学 刚体定点转动 J J、G-+ y +Jy(2-02)+20203-J2023=Mx (y,z方向的分量表达式略。) 若oxyz为主轴坐标系,则方程为 AOx(B-C)o M B0,-(C-Ao0=M,此称为欧拉方程 (A-B)o,0,=M A=J.B=J.C=J y

( ) x x xy y xz z z y y z J   − J   − J   + J − J   若oxyz为主轴坐标系，则方程为 此称为欧拉方程 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 ( ) yz z y xy z x xz y x Mx + J  − + J   − J   = 2 2 （y，z方向的分量表达式略。） ( ) ( ) ( )       − −   =  − −   =  − −   = z x y z y z x y x y z x C A B M B C A M A B C M    x y z A = J , B = J , C = J

第七章刚体动力学 刚体定点转动 2欧拉方程的积分 仅在特殊情况下可求岀适用任何初值的精确解, 1)欧拉情况(1758年):M()=0本课程主要介绍 2)拉格朗日情况(1788年):A=B,只受重力作用, 重心在对称轴上,即x2=y=0,=。≠0 3)科娃列夫斯卡娅(1889年):A=B=2C 重心在赤道面上,即x2≠0,y2≠0,=2=0 4)已证明(1905年):不存在第四种可积情况

2 欧拉方程的积分 3)科娃列夫斯卡娅(1888年)： 重心在赤道面上，即 A= B = 2C xc  0, yc  0, zc = 0 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 ( )  0 e Mo  1)欧拉情况(1758年)： A = B xc = yc = 0, zc  0 2)拉格朗日情况(1788年)： ，只受重力作用， 重心在对称轴上，即 4)已证明（1905年）：不存在第四种可积情况。 仅在特殊情况下可求出适用任何初值的精确解。 本课程主要介绍

第七章刚体动力学 刚体定点转动 3刚体定点运动的欧拉情况 1)刚体永久转动:角速度向量相对刚体和惯 性空间不变的运动 角速度相对刚体不变→x=0y=0:=0 C-B)o 0=0 =0,O-≠0 (A-CoO2=0={0=0-=0,o,≠0 (B-A)o2o,=0 0.0,≠0 可见,永久转动只能是绕惯性主轴进行

1） 刚体永久转动：角速度向量相对刚体和惯 性空间不变的运动。 角速度相对刚体不变    x =   y =   z = 0 ( ) ( ) ( )       =  =    =  =    =  =         −   = −   = −   = 0, 0 0, 0 0, 0 0 0 0 y z x x z y x y z x y x z y z B A A C C B 可见，永久转动只能是绕惯性主轴进行。 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 3 刚体定点运动的欧拉情况

第七章刚体动力学 刚体定点转动 2)刚体永久转动稳定性: 对于欧拉情况,存在绕三个主轴的三种永久转动, 但是否都可以在物理上实现,要看其稳定性如何。 某个运动是稳定的是指:与此运动相应的初值受 到扰动产生的微小变化,不会使以后时刻的运动 产生显著变化。由于扰动是无法避免的,因此只 有稳定的运动在物理上可以实现。例如单摆的平 衡位置,数学上有两个(摆角为0和180度),但 稳定的只有一个(摆角为0度)

2) 刚体永久转动稳定性： 对于欧拉情况，存在绕三个主轴的三种永久转动， 但是否都可以在物理上实现，要看其稳定性如何。 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 某个运动是稳定的是指：与此运动相应的初值受 到扰动产生的微小变化，不会使以后时刻的运动 产生显著变化。由于扰动是无法避免的，因此只 有稳定的运动在物理上可以实现。例如单摆的平 衡位置，数学上有两个（摆角为0和180度），但 稳定的只有一个（摆角为0度）

第七章刚体动力学 刚体定点转动 我们可以用简便的方法研究欧拉永久转动稳定性。 设欧拉永久转动为 O0= const≠0 在初始时刻永久运动受到扰动,Ox,O,不再为零, 而是小量,O也偏离∞某一个小量。不妨设 0x=8,0,=8,02=0o+8,研究在以后的运 动中,δx,⑧,δ2是否还是小量。如果是,则运 动稳定,否则运动不稳定

第七章 刚体动力学 刚体定点转动 我们可以用简便的方法研究欧拉永久转动稳定性。 设欧拉永久转动为 x = y = 0, z = 0 = const  0 在初始时刻永久运动受到扰动， 不再为零， 而是小量， 也偏离 某一个小量。 不妨设 ，研究在以后的运 动中， 是否还是小量。如果是，则运 动稳定，否则运动不稳定。 x y , z 0 x = x y = y z = 0 + z , , z  ,  ,  x y

第七章刚体动力学 刚体定点转动 将02=8x,0,=8,02=00+8代入欧拉方程得: A8x+(C-B)o+8)6y=0 B8,+(4-Co+8)6x=0 C6=+(B-A)628,=0 第一、二式分别乘以(C-A)6x,(C-B)6,相加, 并对时间积分得 A(C-A)82+B(C-B)82=const 可见,只要C>A且C>B,则初始很小的δx,8 在以后的任何时候都是小量

( ) ( ) ( )       + −   =  + −  +   =  + −  +   = 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 z x y y z x x z y C B A B A C A C B    第七章 刚体动力学 刚体定点转动 将 x = x ,y = y ,z = 0 + z 代入欧拉方程得： 第一、二式分别乘以 ，相加， 并对时间积分得： C A x B y ( − ) , (C − ) A C A B C B const − x + − y = 2 2 ( ) ( ) 可见，只要C > A 且C > B，则初始很小的 在以后的任何时候都是小量。 x y  , 

第七章刚体动力学 刚体定点转动 再根据刚体的能量守恒: A8+B84+C(O0+8)=const 可知δ在以后的任何时候也将是小量。 这表明:刚体绕最大或最小惯性主轴的永久转动 是稳定的。该结论的严格证明可利用 Lyapunov运 动稳定性理论给出。另外,利用稳定性理论还可 以证明:刚体绕中间惯性轴的永久转动不稳定。 若考虑阻尼,绕最小惯性 自旋稳定卫星设 主轴的永久转动也不稳定。”计的最大轴原则

第七章 刚体动力学 刚体定点转动 自旋稳定卫星设 计的最大轴原则。 再根据刚体的能量守恒： A B C const x + y +  + z = 2 0 2 2 ( ) 可知 z 在以后的任何时候也将是小量。 这表明：刚体绕最大或最小惯性主轴的永久转动 是稳定的。该结论的严格证明可利用Lyapunov运 动稳定性理论给出。另外，利用稳定性理论还可 以证明：刚体绕中间惯性轴的永久转动不稳定。 若考虑阻尼，绕最小惯性 主轴的永久转动也不稳定

第七章刚体动力学 刚体定点转动 3)欧拉情况下轴对称刚体的运动——规则进动 设A=B,固联系oxyz的oz轴为刚 体对称轴,取固定坐标系OXYZ。 由于动量矩守恒,G为常矢, 可以令OZ沿着G的方向 方面G在oxyz中列阵为 Go=(40,, Bow, Co y 另一方面根据OZ轴在oxyz中投影可得 Go=(Go sin sin p, Go sin 0 cos G, cos0)

3) 欧拉情况下轴对称刚体的运动——规则进动 另一方面根据OZ轴在oxyz中投影可得 Y Z Go   z y o   X N x ( ) T Go Ax B y Cz = , , ( ) T Go = Go sin sin , Go sin cos, Go cos 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 Go  Go  设A=B，固联系oxyz的oz轴为刚 体对称轴，取固定坐标系OXYZ。 由于动量矩守恒， 为常矢， 可以令OZ沿着 的方向。 Go  一方面 在oxyz中列阵为

第七章刚体动力学 刚体定点转动 由此得A x=Go sin esin (p Bo,=Go sin e cos op Co,=Go cos e 其中v-进动角,b-章动角,9-自转角 由欧拉方程: A A-C 0 A0,-(C-A =0 0—C0=CHst Co.=G.cos0→cos0=C0./G、= const

其中  ---进动角,  ---章动角,  ---自转角 由欧拉方程： ( ) ( )       =  − −   =  − −   = 0 0 0 z y x y x y z C A C A A A C    第七章 刚体动力学 刚体定点转动 由此得 Ax = G0 sin sin  By = G0 sin cos Cz = G0 cos C const z = C G const Cz = Go cos cos = z / o =