《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第五章 质系动力学普遍定理（5.2）质系动量矩定理

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 §5-2质系动量矩定理 √动量矩定理 d xmv1=2 lop xmit+∑n×m1 先看第二部分: 由牛顿定律得:m=F=F)+F() 根据主矩定义:Σ7n2

第五章 质系动力学普遍定理 §5-2 质系动量矩定理 动量矩定理 动量矩定理 i i N i i i o p N i i i o p N i o ro p m v r m v r m a dt d G i i i        =   =   +   =1 =1 =1 先看第二部分： ( ) (i) i e mi ai Fi Fi F     由牛顿定律得： = = + ( ) (e) o e i N i ro pi F M      = =1 根据主矩定义：

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 ∑×F7=∑ ∑F=2∑∑ln×F op ∑Σ×F+∑∑l, F i=1j=1 ∑Σ(-2)×F N∑ ∑,×F=0

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 =    +    = = = = N i N j o p ji N i N j ro p Fij r F i j 1 1 1 1     =   −  = = N i N j o p o p Fij r r i j 1 1 ( )    0 1 1 =    = = = N i N j p p Fij r i j   Fij  Fji  Pi Pj i op r  j op r  o =    = = N i N j o p Fij r i 1 1 2   ( )   =    = = = N j ij N i o p i i N i ro p F r F i i 1 1 1    

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 因此得: ∑0Xm"+M(e) 设s为惯性系中固定点,则 +1, 由于×mv=0和∑m1v1=Me ÷_n(e)+M×v

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 ( ) 1 e i i o N i Go ro pi m v M      =   + = 因此得： 设s为惯性系中固定点，则 o p o s sp o i r r r v v i i         = + = − + 由于 vi mi vi = 0 和   i i c m v Mv    = ( ) c o e o o G M Mv v      = + 

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 √特殊情况: 1)当o为惯性系中固定点时 2)当0为质系质心时 思考题:还有那些情况,动量矩定理有 上述简单形式?

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 特殊情况： 1)当o为惯性系中固定点时 (e) Go Mo    = (e) Gc Mc    = 2)当o为质系质心时 思考题：还有那些情况，动量矩定理有 上述简单形式?

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 √例5-4两人同时爬绳,质量均为m,相对 于绳的速率v1>B,两人同时从静止开始。 试问:谁先到达顶端 B

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 例5-4 两人同时爬绳，质量均为m，相对 于绳的速率 ，两人同时从静止开始。 试问：谁先到达顶端? uA  uB o A B

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 解:质系对o点的动量矩 G=oAxm, +oBxmg =mr(va-vBk M。=O4xmg+oB×mg=(mg-mrg)k=0 根据动量矩定理Gn= const 从静止开始,故G。≡0v4= 同时到达顶点! 若m>mn,则v4<vB,B先到达顶点

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 解：质系对o点的动量矩 o A B G oA mv oB mv    =  +  mr(v v )k A B  = − Mo oA mg oB mg    =  +  = (mrg − mrg)k = 0  同时到达顶点! mA  mB A B 若 ，则 v  v ，B先到达顶点。 从静止开始，故 Go  0 G const 根据动量矩定理 o = A B v = v

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 √例5-5在光滑水平面上放置半径为R的圆 环,在环上有一个质量与环相同的小虫, 以相对环的等速率ν爬行。设开始时环与虫 都静止。求环的角速度

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 例5-5 在光滑水平面上放置半径为R的圆 环，在环上有一个质量与环相同的小虫， 以相对环的等速率v爬行。设开始时环与虫 都静止。求环的角速度。 v  o R

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 解:系统质心为C,则oc=cA=R/2 G=M()→G=M(e)=0→G= const G +cA×m(v+v)k 节≡ν+b×CA=0×CA C R O G=O+mv()+mo(ac) nR2+m(R/23)b+mk/2+m(R/2)o=0 3R

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 解：系统质心为c，则 oc = cA= R/ 2 ( ) ( ) G M G M G const cz e cz cz e c = c   = = 0  =    G J cA m(v v ) k cz cz e    =  +  +  ve = vc + cA = cA     ( ) ( ) 2 G J mv Ac m Ac cz = cz + +  ( ( / 2) ) / 2 ( / 2) 0 2 2 2 = m R + m R + mRv + m R  = R v 3  = − v  o R c A

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 √例5-6质量均为m的两小 球C,D用无质量之刚性 R 杆相连,杆与铅垂轴AB OC 固连于O点,夹角为a, 轴AB以匀角速度o转动, C 求支座A,B的侧向反力。DO 设杆长为2l。 SB

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 例5-6 质量均为m的两小 球C，D用无质量之刚性 杆相连，杆与铅垂轴AB 固连于o点，夹角为 ， 轴AB以匀角速度 转动， 求支座A，B的侧向反力。 设杆长为 。   2l   A RA  C o  D B RB 

第五章质系动力学普遍定理 动量矩定理 解:O为质系的质心,故: 1)由质心运动定理 R Re)=2md=0→R,+R 0 OO B 2)对质心O动量矩定理 ao D○ 取坐标系Oxyz,其单位向量为 SB i,j,k,则 B OD

第五章 质系动力学普遍定理 动量矩定理 y j  z Go  k  e    A RA  C  o D B RB  解：o为质系的质心，故： 1)由质心运动定理 ( ) = 2 o = 0 A + B = 0 e R ma R R     2)对质心o动量矩定理 (e) Go Mo    = 取坐标系oxyz，其单位向量为 i j k ，则    , , r lj OC   = r lj OD   = −