《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第六章 质点动力学（6.1）质点运动微分方程及应用

理论力学 质点动力学及应用 李俊峰

理 论 力 学 李 俊 峰 ——质点动力学及应用

第六章质点动力学 运动方程 §6.1质点运动微分方程及应用 mr=F 正问题:已知F,求() 反间题:已知产(),求F 对于质点动力学,反问题很简单,属于微分学 问题。正问题较难些,属于常微分方程求解问 题。正问题是本章的主要内容

第六章 质点动力学 运动方程 §6.1 质点运动微分方程及应用 正问题：已知 , 求 反问题：已知 , 求 r(t)  F  r(t)  F  对于质点动力学，反问题很简单，属于微分学 问题。正问题较难些，属于常微分方程求解问 题。正问题是本章的主要内容。 mr F(t r r)       = ,

第六章质点动力学 运动方程 运动方程的解的存在唯一性 比卡定理:设初值问题x=f(t,x)x()=x0 若f(,x)在1-≤ax-x≤b上连续,且满足 Lich条件 (x)-f(x)≤x1-x 则方程的解存在且唯一(在区间-≤h), h由a,b确定

第六章 质点动力学 运动方程 运动方程的解的存在唯一性 比卡定理：设初值问题 若 在 上连续，且满足 条件 ( ) ( ) 0 0 x  = f t, x , x t = x f (t, x) t −t 0  a, x − x0  b Lipschitz ( ) ( ) 1 2 1 2 f t, x − f t, x  L x − x 则方程的解存在且唯一（在区间 上）， h由 a, b 确定。 t −t 0  h

第六章质点动力学运动方程 拉普拉斯关于确定性的名言: 设有位智者在每一瞬间得知激励大自然 的所有力,以及组成它的所有物体的相互位 置,如果这位智者如此博大精深,他能对这 样众多的数据进行分析,把宇宙最庞大物体 和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之中 对他来说没有什么事情是不确定的,将来就 像过去一样展现在他的眼前

第六章 质点动力学 运动方程 拉普拉斯关于确定性的名言： “设有位智者在每一瞬间得知激励大自然 的所有力，以及组成它的所有物体的相互位 置，如果这位智者如此博大精深，他能对这 样众多的数据进行分析，把宇宙最庞大物体 和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之中， 对他来说没有什么事情是不确定的，将来就 像过去一样展现在他的眼前

第六章质点动力学 运动方程 混沌( chaos)”现象的发现告诉人们, 即使是简单的力学模型(如三体问题),都会 产生非常复杂的运动,决定论方程可导致无法 预测的结果。 不过,通常简单的力学问题中,运动微分方 程的解总是存在且唯一的。 当然,解的存在和能找到解析表达式是两回事

不过，通常简单的力学问题中，运动微分方 程的解总是存在且唯一的。 当然，解的存在和能找到解析表达式是两回事。 第六章 质点动力学 运动方程 “混沌（chaos）”现象的发现告诉人们， 即使是简单的力学模型（如三体问题），都会 产生非常复杂的运动，决定论方程可导致无法 预测的结果

第六章质点动力学运动方程 简单可积情况: 1)当F为常矢量时 (t)=+tn+-F 702ml 2)当F的某个分量为常数时 x(t)=xn+区n+F 2m

第六章 质点动力学 运动方程 简单可积情况： ( ) F m t r t r tv     2 2 = 0 + 0 + ( ) Fx m t x t x tx 2 2 = 0 +  0 + 1）当 F 为常矢量时  F  2）当 的某个分量为常数时

第六章质点动力学 运动方程 3)一维运动,当F2=f(x)时,例如保守力 di dx dx di midi=f(aox nX dx t 2 2 〔/(M+

第六章 质点动力学 运动方程 3）一维运动，当 Fx = f (x) 时，例如保守力 dx dx x dt dx dx dx dt dx x      = = = mx dx  = f (x)dx ( ) 1 2 2 1 mx = f x dx + c    ( )  2 1 2 t c f x dx c m dx = +  +  

第六章质点动力学运动方程 4)当F2=g(x)时,例如阻尼力 G() mdx t+ (x) 可反解出:x=h()→x=x() 5)当F=f(x)g{(x)时 midi=fxg(kx

第六章 质点动力学 运动方程 4）当 Fx = g(x ) 时，例如阻尼力 ( ) ( ) 1 t c g x mdx G x = = +     5）当 Fx = f (x)g(x ) 时 mx dx  = f (x)g(x )dx 可反解出： x  = h(t) x = x(t)

第六章质点动力学 运动方程 midi Glx 8(/∫八x址=r(x) 可以解出如下形式的表达式: 进一步解出: dx t+c H()

第六章 质点动力学 运动方程 ( ) ( ) f (x)dx F(x) g x mxdx G x = = =       x  = H(x) ( ) t c H x dx  = + 可以解出如下形式的表达式： 进一步解出：