中国科技大学：《非线性动力学》 非线性动力学讲义

非线性动力学 第一章 汪秉宏 中国斛学故术太学 近代物理系

2021/2/19 1 非线性动力学 第一章 汪 秉 宏 中国科学技术大学 近代物理系

第一章引言 §1 Newton力学及其发展 ■§2非线性动力学的研究对象 §3非线性动力系统模型 的建立 2021/2/19

2021/2/19 2 第一章 引言 ◼§1 Newton 力学及其发展 ◼§2 非线性动力学的研究对象 ◼§3 非线性动力系统模型 的建立

51 Newton力学及其发展 力学的定性研究时期 (公元前-17世纪中叶) Archimedes, Galileo, Kepler ■定量研究时期 (17世纪中叶-19世纪末) Newton, Lagrange, Hamilton 2021/2/19

2021/2/19 3 §1 Newton 力学及其发展 ◼力学的定性研究时期 （公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler ◼定量研究时期 （ 17世纪中叶－19世纪末） Newton，Lagrange, Hamilton

(17世纪)Newo方程: dxj=F( dt ■基本问题:已知F的函数形式,求上述方 程组的解析表达式。数学家可证明其存在性 及唯一性。 基本方法微坑论:F=F+EF 存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功 能够精确预言天体的运动。 2021/2/19

2021/2/19 4 （17世纪）Newton方程： ◼ 基本问题：已知 的函数形式， 求上述方 程组的解析表达式。数学家可证明其存在性 及唯一性。 ◼ 基本方法－微扰论： 存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功， 能够精确预言天体的运动

18世纪: Lagrange方程 dL SL 0 Lagrange 函数 LO 2021/2/19

2021/2/19 5 18世纪： Lagrange 方程 Lagrange 函数

19世纪ham/om方程 引进广义动量 dq aH dp aH H(g, p) hamilton 函数 2021/2/19

2021/2/19 6 19世纪 Hamilton 方程 ◼引进广义动量 Hamilton 函数

Lagrange, Hamilton方 程均与 Newton方程等价 ■力学的基本问题、基本方 法未变 ˉ结论:二百多年来牛顿力 学无实质性进展 2021/2/19

2021/2/19 7 ◼Lagrange, Hamilton方 程均与Newton方程等价 ◼力学的基本问题、基本方 法未变 ◼结论：二百多年来牛顿力 学无实质性进展

19世纪末、20世纪初发生的 对于牛顿力学的三大变革 创始人 Plank Einstein Poincare 导致变革的,黑体辐射。「运动介质中的,三体稳定性 研究课题。 电动力学 问题。 变革内容。客体状态与测量的时空概念。力学的基本 关系及其描述。 问题和方法。 新的应用领域微观现象。高速现象,「非线性现象」 出现新学科量子力学 相对论。 定性力学 非线性动力学。 2021/2/19

2021/2/19 8 19世纪末、20世纪初发生的 对于牛顿力学的三大变革

太阳系是否稳定? N体稳定性问题 微扰是否收敛? 许多科学家宣称太阳系是稳定的,但并未给出其证 明。如 Dirichlet 奥斯卡奖1890年授予 Poincare.他证明了所有微扰 级数是发散的,因而研究稳定性必须使用新的方 法—定性方法:几何拓扑,微分拓扑。 力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。求解析 解并不解决问题。 2021/2/19

2021/2/19 9 太阳系是否稳定？ ——N 体稳定性问题 ◼ 微扰是否收敛？ ◼ 许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证 明。如 Dirichlet。 ◼ 奥斯卡奖1890年授予 Poincare. 他证明了所有微扰 级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方 法 ——定性方法：几何拓扑，微分拓扑。 ◼ 力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。 求解析 解并不解决问题

新力学的理论特点:力学的基本问题 ■研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即 研究相轨图( phase portrait 例如:是否周期解?(用微扰法不能回答这 问题)给出级数展开式 、广×一 5! 如何证明?sin(x+2丌)=sinx 2021/2/19 10

2021/2/19 10 新力学的理论特点: 力学的基本问题 ◼ 研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即： 研究相轨图(phase portrait) ◼ 例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这 一问题） 给出级数展开式： 如何证明?