《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第五章 质系动力学普遍定理（5.3）质系动能定理

第五章质系动力学普遍定理 §5-3质系动能定理 √柯尼希定理 “质系动能等于质系相对质心运动的动 能加上位于质心上质量为质系总质量的 质点的动能。”或者:“质系的动能 等于跟随质心平动的动能加上相对质心 平动坐标系运动的动能。” T=-My+T

第五章 质系动力学普遍定理 §5-3 质系动能定理 柯尼希定理 “质系动能等于质系相对质心运动的动 能加上位于质心上质量为质系总质量的 质点的动能。” 或者：“质系的动能 等于跟随质心平动的动能加上相对质心 平动坐标系运动的动能。” T = Mvc + Tr 2 2 1

第五章质系动力学基本定理 动能定理 √动能定理 m=d∑,m,=∑m际而+(, i=1 ∑ m.dv ∑ mv·adt ∑ ∑(F()+F0)=+∞10

动能定理    ( )  = =  =  +       =  N i i i i i i N i i i i dT d m v v m v dv dv v 1 2 1 1 2 1          = = = =  =  =  N i N i i i i i i i i N i i i m v dv m v a dt m a dr 1 1 1       ( ) ( ) ( ) (e) (i) i N i i i e =  Fi + F  dr = A +A =    1 第五章 质系动力学基本定理 动能定理

第五章质系动力学基本定理 动能定理 定理叙述:“在惯性参考系中质系动能的 微分等于所有力(外力及内力所做的元功 可:1)运动员起跑时,什么力做功? 2)汽车加速时,什么力做功? 若质系所有内力和外力都是有势力,且 势函数不显含t,则 =8小+8小=-aI 于是有机械能守恒 E=T+ll= const

第五章 质系动力学基本定理 动能定理 定理叙述：“在惯性参考系中质系动能的 微分等于所有力(外力及内力)所做的元功。” 问：1)运动员起跑时，什么力做功? 2)汽车加速时，什么力做功? ( ) ( ) dT = A +A = −d e i E = T +  = const 若质系所有内力和外力都是有势力，且 势函数不显含t，则: 于是有机械能守恒:

第五章质系动力学基本定理 动能定理 √例5-7两质量为m的小球用弹簣(弹性系 数为k)相连,放在光滑水平面上,初始 弹簧为原长,A静止,B速度为,求质 系动能和内力的功T=2亚=? k

例5-7 两质量为m的小球用弹簧（弹性系 数为k）相连，放在光滑水平面上，初始 弹簧为原长，A静止，B速度为u，求质 系动能和内力的功 ( ) = ?, = ? i T A A B C k u 第五章 质系动力学基本定理 动能定理

第五章质系动力学基本定理 动能定理 解:T=2m+T.=m2/x1 mu+t 4 T=2Tm=2·mv=mv4r 2k cos at0 T=-mu+-mu cos ot==mu 1+cos ot 4 4 dT=--mu? 2 sin at cos ot.d(ot)=-mu' sin 2otdt

( ) c r Tr m u Tr u T m v T m  + = +      = + = 2 2 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 Tr 2TA r 2 m vA r = m vA r = =  m k t u vA r 2 cos , 2 2 = −   = T m u m u t m u ( t) 2 2 2 2 2 1 cos 4 1 cos 4 1 4 1  = + = + dT m u t t d( t) m u tdt     sin 2 4 2sin cos 4 1 2 2 = −   = − 第五章 质系动力学基本定理 动能定理 解:

第五章质系动力学基本定理 动能定理 )=0 Sa=dT mou sin 2ot lt 在任意时刻t mu' sin ot <o

( ) = 0 e A ( ) A dT (m u t)dt i   sin 2 4 1 2  = = − ( ) sin 0 4 1 2 2 A = T − T0 = − m u t  i  第五章 质系动力学基本定理 动能定理 在任意时刻t:

第五章质系动力学基本定理 动能定理 例5-8质量为m的物块, 自高度为处自由落下, 落到有弹簧支撑的板 上后与板一起运动, 如图所示。板的质量 也为m,弹簧的刚度 系数为k,质量不计。 求弹簧的最大变形

第五章 质系动力学基本定理 动能定理 例5-8 质量为m的物块， 自高度为h处自由落下， 落到有弹簧支撑的板 上后与板一起运动， 如图所示。板的质量 也为m，弹簧的刚度 系数为k，质量不计。 求弹簧的最大变形

第五章质系动力学基本定理 动能定理 解:由于机械能守恒 mgh+2mgo max 2 max aX 2mg/k+v4(mg/k)2+2mgh/k

第五章 质系动力学基本定理 动能定理 解: 由于机械能守恒 0 2 1 2 2 mgh + m g max − k max = 2m g / k 4(m g / k) 2mgh/ k 2  max = + +

第五章质系动力学基本定理 动能定理 例5-9设圆柱上有一条光滑 的螺旋槽,其升角a=,质 量与柱相等的小球可沿着槽 运动,圆柱可绕竖直轴AB转 动。设初始时刻圆柱和小球 都静止,求小球在下滑过程 中对槽的动压力? B

A B  第五章 质系动力学基本定理 动能定理 4   = 例5-9 设圆柱上有一条光滑 的螺旋槽，其升角 ，质 量与柱相等的小球可沿着槽 运动，圆柱可绕竖直轴AB转 动。设初始时刻圆柱和小球 都静止，求小球在下滑过程 中对槽的动压力?

第五章质系动力学基本定理 动能定理 解:设小球相对速度为u A E=t+ll=const T mra+-my =(m2o05)n45) l=mgz B ∴mg2=,mO+-m

解: 设小球相对速度为u E = T +  = const 2 2 2 2 1 2 1 2 1 T =  mr  + mv v ( r u )i u j    =  − cos45 + sin 45  = mgz mgz m r  m u ru 2 2 2 1 4 3 2 2 2  = + − 第五章 质系动力学基本定理 动能定理 A B 