《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第八章 分析动力学初步（8.3）Lagrange方程的第一积分

第八章分析动力学初步 Lagrange方程 例8-21在光滑水平面上放置一个质量为m2的三棱 ●柱ABC,它的AB斜面倾角为β。一质量为m1、半 径为r的均质圆柱沿着三棱柱的斜面AB无滑动的 滚动,求三棱柱的加速度

例8-21 在光滑水平面上放置一个质量为 的三棱 柱ABC，它的AB斜面倾角为 。一质量为 、半 径为r 的均质圆柱沿着三棱柱的斜面AB无滑动的 滚动，求三棱柱的加速度。 m2 m1  Lagrange方程 第八章 分析动力学初步  A C B

第八章分析动力学初步 Lagrange方程 解:平面内描述系统可以用4个参数xA,x0,y 约束:纯滚和斜面支撑,因此系统有两个自由度。 广义坐标:x1=x和柱转角(D与A重合时为零) xo=xp train B=x+ro cos B+rsin B yo=yp+rcos B=AC-rosin B+rcos B ho=x+ro cos B A yo=-rosin B T=-mxt-mv+-lo xX十

2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 T = m x + m vo + I o  2 2 2 o o o v = x  + y  2 1 2 1 , I m r  = o = Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 x x 广义坐标： A = 和柱转角  (D与A重合时为零) 解：平面内描述系统可以用4个参数 xA , xo , yo , y x o  A B D C 约束：纯滚和斜面支撑，因此系统有两个自由度。         cos sin cos sin cos sin y y r AC r r x x r x r r o D o D = + = − + = + = + +     sin cos      y r x x r o o = − = +

第八章分析动力学初步 Lagrange方程 T=(m,+m2)x+=mr+mrio cos B 4 V=m,g(o -Ac-rcos B)=-migro sin B (设A点势能点为零) L=-(m,+m2)x+mro+mrp cos B+mgrp sin B 代入拉氏方程可得 (m+m2)i+m,ri cos B=0 →(m1+m2)x+ mri cos B=0 (1)

代入拉氏方程可得 (m1 + m2 )x + m1 r cos   = 0 dt d ( ) cos 0 (1)  m1 +m2  x  +m1 r   = Lagrange方程 第八章 分析动力学初步   cos   sin  4 3 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 2 L = m1 + m2 x + m r  + m rx  + m gr V = m1 g(yo − AC − r cos ) = −m1 gr sin    cos  4 3 ( ) 2 1 1 2 2 1 2 1 2 T = m + m x + m r  + m rx  （设A点势能点为零）

第八章分析动力学初步 Lagrange方程 L=-(m,+m2)x+mro+mrp cos B+mgr sin B d「3 dt /2mrp+m, -mersin B=0 mri+m,i cos B-m,gsin B=0(2) 由(1)(2)可解出: X三 m,g sin 2B 3(m,+m2)-2my cos B 元<0三棱柱加速度向左

由(1)(2)可解出：   2 1 2 1 1 3( ) 2 cos sin 2 m m m m g x + − −  = Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 cos sin 0 2 3 1 1 2 1 − =       m r  + m rx  m gr  dt d   sin 0 (2) 3 2 cos 3 2  m1 r+ m1 x  − m1 g  =   cos   sin  4 3 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 2 L = m1 + m2 x + m r  + m rx  + m gr  x   0 三棱柱加速度向左

第八章分析动力学初步拉氏方程 第一积分 ●§8-3 Lagrange方程的第一积分 动能表达式分析 利用=3x动能T=7Em 10g Ij at 可以写成为T=T2+F+70 广义速度 其中n2=∑m(2∑0)=方qA的二次型 =1k=10;O A nxn anp=∑ y(,,q 15…7

一、动能表达式分析 j k k i n j n k j i N i i q q q r q r T m     ( ) 2 1 1 1 1 2        =  = = = 拉氏方程 第一积分 第八章 分析动力学初步 §8-3 Lagrange方程的第一积分 , 1    +   = = n j i j j i i t r q q r r      利用 2 1 1 i i N i i T m r r     =   = 动能 可以写成为 T = T2 +T1 +T0 其中   n T q q  q    ,..., = 1   , ( , ), 1 a q t q r q r A a a m ij j k i k N k ij k n n ij    =      = =  =  q Aq T     2 1 = 广义速度 的二次型

第八章分析动力学初步拉氏方程 第一积分 T=∑m(∑ )=bq广义速度的一次齐次式 =10 b=b…b]b=∑ b(q,1) ag. at 02 Smk at otc((1)与广义速度无关项 、广义能量积分 如果拉格朗日函数L不显含时间t,则 OL 0

 ,...,  ( , ) 1 1 b q t t r q r b b b b m i k i k N k n i k T     =      = = = ( , ) 2 1 1 0 c q t t r t r T m k k N k k    =      =  = 拉氏方程 第一积分 第八章 分析动力学初步        = = = N i n j j i j i i q t r q r T m 1 1 1 ( )   b q T    = 广义速度的一次齐次式 与广义速度无关项 二、广义能量积分 如果拉格朗日函数L不显含时间t，则 = 0 。   t L

第八章分析动力学初步拉氏方程 第一积分 dL OL ∑(n分 aL al d aL 如果主动力有势,则 dl n al d d aL d n al 于是 dg dt dt a OL L|=0

( ) 1 j j j n j j q q L q q L dt dL      +   = = 如果主动力有势，则 ( ) j qj L dt d q L   =              +   = = n j j j j j q q L dt d q dt d q L dt dL 1 ( )     ( ) 1 j n j j q q L dt d    =   = 拉氏方程 第一积分 第八章 分析动力学初步 于是 0 1 =         −    = n j j j q L q L dt d  

第八章分析动力学初步拉氏方程 第一积分 →∑q-L=E=COst 此式称为广义能量积分,E称为广义能量 利用L=72+7+7 aL aT aT qn=272+T + →E=T-T+= const 当约束为定常时,=0,T=0,T=72 ●→E=T+V= const机械能守恒

此式称为广义能量积分， E称为广义能量。 利用 L = T2 +T1 +T0 −V 2 1 2 1 q 2T T q T q q T q q L j j j j j j = +   +   =          拉氏方程 第一积分 第八章 分析动力学初步 q L E const q L j n j j − = =    =   1  E = T −T +V = const 2 0 当约束为定常时， 0 1 2 T = 0, T = 0, T = T  E = T +V = const 机械能守恒

第八章分析动力学初步拉氏方程 第一积分 例8-22如图所示,半径为r的圆环以匀角速度O 绕O轴在水平面内转动,环上有一质量为m的质点。 求质点运动微分方程的首次积分。 m(x,y)

例8-22 如图所示，半径为r的圆环以匀角速度 绕O轴在水平面内转动，环上有一质量为m的质点。 求质点运动微分方程的首次积分。  y m(x, y)  r  x 拉氏方程 第一积分 第八章 分析动力学初步

第八章分析动力学初步拉氏方程 第一积分 解:质点的坐标为 m(x,y) x=rcos ot +rcos(at +0) y=rsin at+rsin( at+0) T=m(x2+y2) mr02+mroe(1+cos0)+mro(1+cos0) 2 =0.L=T

解：质点的坐标为 x = r cost + r cos(t + ) y = rsint + rsin(t + ) ( ) 2 1 2 2 T = m x + y (1 cos ) (1 cos ) 2 1 2 2 2 2 2 = m r  + m r  +  + m r  +    拉氏方程 第一积分 第八章 分析动力学初步 y m(x, y)  r  x T2 T1 T0 V = 0, L = T