《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第三章 复合运动（3.2）刚体复合运动

第三章复合运动 刚体复合运动 §3-2刚体复合运动 角速度合成定理 设某刚体以角速度d相对参考 系Oxz作定点转动,而参考 系OXz相对于另一个参考系 Ox2H2z2以角速度d作定点转 动,则刚体相对参考系OX2Y2Z2 的角速度为g2=6+

第三章 复合运动 刚体复合运动 §3-2 刚体复合运动 角速度合成定理 设某刚体以角速度 相对参考 系 作定点转动， 而参考 系 相对于另一个参考系 以角速度 作定点转 动，则刚体相对参考系 的角速度为 。 r  e   = e +r    OX1 Y1 Z1 OX2 Y2 Z2 OX1 Y1 Z1 OX2 Y2 Z2 O Z2 Z1 z X2 X1 x Y1 Y2 y

第三章复合运动 刚体复合运动 证明: 设D点为刚体上的一个点,其相 对O的向径为F,则该点的相对 速度和牵连速度分别为 v三0.×F 根据点的复合运动速度合成公式, X X 点的绝对速度(即相对Ox22Z2 思考题:若刚体 的速度)为n=+=(⑥。+6,)×F相对运动和牵连 运动都是一般运 又根据定点运动的速度公式v=9产动,这个结论还 由以上两式得2=02+0 正确吗?

第三章 复合运动 刚体复合运动 证明： v r r r    =  p r  O Z2 Z1 X2 X1 Y1 Y2 设 p 点为刚体上的一个点，其相 对 O 的向径为 ，则该点的相对 速度和牵连速度分别为 r  v r e e    =   v v v r p e r e r       = + = ( + ) 根据点的复合运动速度合成公式， p 点的绝对速度(即相对 的速度)为 OX2 Y2 Z2  = e +r    又根据定点运动的速度公式 v r p    =  由以上两式得 思考题：若刚体 相对运动和牵连 运动都是一般运 动，这个结论还 正确吗？

第三章复合运动 刚体复合运动 角加速度合成公式 将角速度公式两边对时间求导 8 dt 利用向量绝对导数和相对导数的关系得 0,×.+ Oe×0r+8r dt 所以,刚体的绝对角加速度为 E=8+8,+0e2×0r

第三章 复合运动 刚体复合运动 角加速度合成公式 将角速度公式两边对时间求导 所以，刚体的绝对角加速度为 e r r r e r r dt d dt d =   +   =   +        ~ dt d dt d dt d dt d r e e r  =  +  +  =   =      利用向量绝对导数和相对导数的关系得 e r +e r  =  +      

第三章复合运动 刚体复合运动 两种特殊情况 ◆相对运动和牵连运动都是常角速度的定轴转 动,并且转动轴相交。 8三0.×0 ◆相对运动和牵连运动都是定轴转动,并且转 动轴相互平行。 9=0e+0r 8=8+E

第三章 复合运动 刚体复合运动 两种特殊情况 相对运动和牵连运动都是常角速度的定轴转 动，并且转动轴相交。 相对运动和牵连运动都是定轴转动，并且转 动轴相互平行。 e r  =  +   = e +r  = e +r    = e r    

第三章复合运动 刚体复合运动 ●例题3.3利用刚体复合运动推导欧拉运动学方程 (用欧拉角及其导数表示刚体角速度在固联系中的分量) 解:按照欧拉角的定义, Z y 刚体的角速度(即Oxyz相 aez/ o 对于OZ的角速度)由三 ope M 个定轴转动合成: 0=0e(MM)+0-(MM)= O (M)+(02(L=)+(L2) pez +e N N

第三章 复合运动 刚体复合运动 例题3.3 利用刚体复合运动推导欧拉运动学方程 (用欧拉角及其导数表示刚体角速度在固联系中的分量) o X y x Z Y z N M      L  eZ     N e    z e    解：按照欧拉角的定义， 刚体的角速度(即oxyz 相 对于oXYZ 的角速度)由三 个定轴转动合成：  = e(NM ) +r(NM ) =    ( ) = e(NM ) + e(Lz) +r(Lz)    Z N z e e e         =  +  + 

第三章复合运动 刚体复合运动 将已z,e分别用ex,y,表示出来并代入上式得: Ox=Usin Asin p +e cos p Oy=Sin e cos p-0sin qp O.=v cos 0+(p 注:这个表达式也可以利用变换矩阵A=AAA 和角速度矩阵 0 02O 6=AA1 0 求出来

第三章 复合运动 刚体复合运动 将 eZ e N 分别用 表示出来并代入上式得：   , x y z e e e    , ,       =   +   =   −    =    +         cos sin cos sin sin sin cos z y x           −   − −   = = − 0 0 0 ~ 2 1 3 1 3 2 1 A A 注：这个表达式也可以利用变换矩阵 A = A A A 和角速度矩阵 求出来

第三章复合运动 刚体复合运动 例题3.4重做例题2.2、2.3半径为r的车轮沿圆弧作 纯滚动,如图所示,已知轮心E的速度是常数u,轮心轨 道半径是R。求车轮上最高点B的速度和加速度。 解:取轮轴OE为动系,则车轮O 的相对运动是绕OE轴的定轴转 B 动,车轮的牵连运动是随着OE/R(E~ 轴绕着竖直轴OD的定轴转动 根据轮心速度可得牵连角速度 o=u/r B 根据角速度合成公式O O 以及几何关系得O=0。/sina

第三章 复合运动 刚体复合运动 例题3.4 重做例题2.2、2.3半径为 r 的车轮沿圆弧作 纯滚动，如图所示，已知轮心 E 的速度是常数 u ，轮心轨 道半径是 R 。求车轮上最高点 B 的速度和加速度。 解：取轮轴OE 为动系，则车轮 的相对运动是绕OE 轴的定轴转 动，车轮的牵连运动是随着OE 轴绕着竖直轴OD 的定轴转动。 根据轮心速度可得牵连角速度 E O R r u B C D B O E C  e    r e = u / R   = e +r    根据角速度合成公式 以及几何关系得 = e /sin 

第三章复合运动 刚体复合运动 根据角加速度合成公式 8=0。×O,=0,O,℃=-0 SIn a cos o℃ 再根据定点运动的速度公式和加速度公式可求出 B点的速度和加速度

第三章 复合运动 刚体复合运动 根据角加速度合成公式  =   =    = −        sin cos 2 e r e r 再根据定点运动的速度公式和加速度公式可求出 B 点的速度和加速度

第三章复合运动 刚体复合运动 例题3.5一个机构有三个齿轮互相啮合,并用 曲柄相连,轮子中心在同一直线上。设定轮0与动 轮2的半径相等,曲柄的绝对角速度030为已知 求动轮2的绝对角速度020 30 动轮2 定轮0惰轮1

第三章 复合运动 刚体复合运动 例题3.5 一个机构有三个齿轮互相啮合，并用一 曲柄相连，轮子中心在同一直线上。设定轮0与动 轮2的半径相等，曲柄的绝对角速度 为已知， 求动轮2的绝对角速度 。 30 20 30 定轮 0 惰轮 1 动轮 2

第三章复合运动 刚体复合运动 解:取曲柄为动系,并将其标号为3:又设用On ●表示第i个刚体相对与第j个刚体的角速度,则 根据齿轮啮合的无滑动条件得: rO 03 O 1013 23 由=n2得: 30 动轮2 02=003-030 ∞z定轮惰轮1 0 ●根据角速度合成公式 得 20=023+030=0即动轮2作平动

第三章 复合运动 刚体复合运动 解：取曲柄为动系，并将其标号为3；又设用 表示第 个刚体相对与第 个刚体的角速度，则 根据齿轮啮合的无滑动条件得： ij i j 0 0 3 = 1 1 3 = 2 2 3 r r r 2 0 = 2 3 +3 0 = 0 0 2 r = r 2 3 = 0 3 = −3 0 由 得： 根据角速度合成公式 得： 即动轮 2 作平动。 30 定轮 0 惰轮 1 动轮 2