西安电子科技大学：固体物理——布洛赫（Bloch）定理

§4—2布洛赫(Boch)定理 求晶体中的电子态,要解定态薛定谔方程 2V2v(k,r)+[E-V(r)v(k,r)=0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性,即 V(r-V(r+R) V(r+ ai+n,a2+n3 a3

§4－2布洛赫（Bloch）定理 求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程  2 (k,r)＋E －V(r) (k,r)＝0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即 V(r)＝V（r＋Rn） ＝V（r+n1 a1+n2 a2+n3 a3） 2m 2

布洛赫定理 晶体中的电子波函数是按照晶格周期 性进行的调幅平面波 即(以一维为例) y(k, x-u(k, x) elkx 其中 u(k, x =u(k tna) 晶体中的电子波又称为 Bloch波

一．布洛赫定理 即（以一维为例） （k ,x）＝u（k，x）e ikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。 晶体中的电子波函数是按照晶格周期 性进行的调幅平面波

讨论: 1.电子出现的几率具有正晶格的周期性 v(k,x)|2=|u(k,x)|2 I y (k, x+na)2= u(k x+na)| u (k, x=u(k xtra) y(k,x)|2=|y(k,x+na)2

讨论： ∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na） ∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2 1．电子出现的几率具有正晶格的周期性

2.布洛赫定理的另一种表示 y(k, x+na)=y(k, x) eikna

2. 布洛赫定理的另一种表示 （k ,x+na）＝（k ,x）e ikna

证明: y(k, X)=u(k, X) elkx u (k, x =u(k tna) 得:u(k,x)=y(k,x)elkx u(k, x+na )=y(k, x+na) e-k(xtna e ikx Te-Ikna y (k, tna)1(B 比较(A)(B)二式,左右分别相等 (k, x+na)=v(k x) elkna 以上证明各步均可逆,故 Bloch定理的两种表示 等价

以上证明各步均可逆，故Bloch定理的两种表示 等价。 证明: ∵ （k ,x）＝u（k，x）e ikx u（k，x）＝u（k ,x+na） 比较（A）（B）二式，左右分别相等 ∴ （k ,x+na）＝（k ,x）e ikna 得：u（k，x）＝（k,x）e -ikx (A) u（k ,x+na）=（k ,x+na）e -ik(x+na) = e -ikx [e-ikna （k ,x+na）] (B)

3.函数v(k,x)本身并不具有正 晶格的周期性。 (k x+na)=u(k, x+na) elk(xtra =u(k,x+na)ex× elna =u(k,x)eikx× elna (k x eik na 而一般情况下∵k不是倒格矢eln≠l V(k,x+na)≠y(k,x)

3．函数（k ,x）本身并不具有正 晶格的周期性。 ∴ （k ,x＋na）≠ （k ,x） （k ,x＋na）＝u（k，x+na）e ik(x+na) = u（k，x+na）e ikx× e ikna = u（k，x）e ikx× e ikna = （k ,x）e ikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 e ikna≠1

V(k,x+na)≠y(k,x) V(kx (k x +na)2 讨论:波函数的物理意义

（k ,x＋na）≠ （k ,x） 讨论：波函数的物理意义 ∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2

二. Bloch定理的证明 1.由于势能函数V(x)具有晶格周期性,适 当选取势能零点,它可以作如下的付里叶级 数展开: 27 nx I(x)=∑n2∈ 2丌 Vn-V()e O

二．Bloch 定理的证明 1． 由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适 当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级 数展开：   n=− nx a i V x Vn e 2 ( )＝ V x e dx a V nx a i a n 2 0 ( ) 1 − ＝ 

说明: ∫v(x)x=(x)=cons→0 O n≠0 I(x)∑vne(nx n≠0

说明： ( ) ( ) 0 1 0 0  V x dx V x = cons → a V a ＝ ＝ ∴ 0 2 ( ) n nx a i V x Vn e  ＝ 0 ( ) n iG x n V x ＝ V e n ( 1 )

2将待求的波函数v(r)向动量本征 态一一平面波e展开 v(k,x)∑C(k)ex 求和是对所有满足波恩一卡曼边界条件的波 矢k进行的。(讨论)

2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征 态――平面波e ik•x展开 ' ( , ) ( ) ' K i k x k x C k e ‘  ＝ (2) 求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波 矢k’进行的。(讨论）