西安电子科技大学：《数学物理方法概论》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 格林函数

第四章格林函数 格林函数在电磁场理论中有广泛的应用,本节 将在线性空间的框架下,建立格林函数的定义和应 用分析。 事实上,希尔伯特空间中的S-L系统(微分算子 方程)与积分算子之间有着密切的联系,从这个联 系中我们可以引入格林函数的定义,同时,利用这 些格林函数,也就将微分方程的表述转化为积分方 程,进而得到问题的求解

第四章 格林函数 格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节 将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应 用分析。 事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子 方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联 系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这 些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方 程，进而得到问题的求解

第四章格林函数 1、点源函数法回顾; 2、格林函数的引入 3、格林函数与δ函数; 4、一维格林函数; 5、三维格林函数 6、格林函数在电磁学中的应用; 7、并矢格林函数

1、 点源函数法回顾； 2、 格林函数的引入； 3、 格林函数与函数； 4、 一维格林函数； 5、 三维格林函数； 6、 格林函数在电磁学中的应用； 7、 并矢格林函数 第四章 格林函数

§41点源函数法回顾 §4格林函数 经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有 广泛的应用。 从点源的概念出发(如质点、点电荷、点热源 等),根据叠加原理,通过点源场的有限积分来得 到任意源的场 这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函 数法,又称为点源函数法或影响函数法

§4.1 点源函数法回顾 §4 格林函数 经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有 广泛的应用。 从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源 等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得 到任意源的场。 这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函 数法，又称为点源函数法或影响函数法

§41点源函数法回顾 §4格林函数 4.11格林函数法的回顾 首先,找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产 生的场或影响,即点源的影响函数(格林函数);然后,由 于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加, 利用场的叠加原理,对格林函数在整个源域上积分,即可得 到任意源的场,这就是格林函数法的主要思想。 回顾内容包括: 1、点源函数的性质; 2、格林函数的一般求法(电像法)等; 3、格林函数求解边值问题的途径

§4 格林函数 4.1.1 格林函数法的回顾 首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产 生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由 于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加， 利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得 到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。 回顾内容包括： 1、点源函数的性质； 2、格林函数的一般求法（电像法）等； 3、格林函数求解边值问题的途径。 §4.1 点源函数法回顾

§41点源函数法回顾 §4格林函数 例如:空间中,静电荷产生的电势问题, 电荷源M电荷密度P 空间M处的电势满足泊松方程: Y Vu P,M′ 实际上:由静电学可知,位于10点的单位正电荷在r处的电势为 G(F,6) 4nE|-

§4 格林函数 例如：空间中，静电荷产生的电势问题， M O X Y Z , M  r 0 r 0 r r − 电荷源 M  电荷密度  空间M处的电势满足泊松方程： 2 u    = − 实际上：由静电学可知，位于 r0 点的单位正电荷在r处的电势为 0 0 1 1 ( , ) 4 | | G r r  r r = − §4.1 点源函数法回顾

§41点源函数法回顾 §4格林函数 根据迭加原理,任意电荷分布的电势为: P() (F)=!4n|- d=G(,)(G)d 表明:上方程的求解,可以通过以下思想获得 1)找到一个点源在一定边界或初值条件下的场一即格林函 数(或称点源函数,影响函数) 2)根据线性迭加原理,将各点源的场迭加起来,得到一般 源的场—即通过有限积分表示原问题的解。 格林函数法(点源法)

§4 格林函数 0 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) 4 | | V V r u r dV G r r r dV r r    = = −   表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得： 1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场—即格林函 数（或称点源函数，影响函数） 2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般 源的场—即通过有限积分表示原问题的解。 ——格林函数法（点源法） 根据迭加原理，任意电荷分布的电势为： §4.1 点源函数法回顾

§41点源函数法回顾 §4格林函数 从以上例题的分析可见,格林函数法的主要特点是: 1)直接求得问题的特解,(它不受方程类型和边界 条件的局限), 2)通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示, 物理意义清晰,便于以统一的形式研究各类定解问题; 3)且对于线性问题,格林函数一旦求出,就可以算 出任意源的场,这样将一个复杂的求解问题,就转换 为关键是求解点源的相对简单的问题

§4 格林函数 从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界 条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示， 物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题； 3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算 出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换 为关键是求解点源的相对简单的问题。 §4.1 点源函数法回顾

§41点源函数法回顾 §4格林函数 412δ函数 函数的引入 1、物理背景 O )金属线段 则密度:(x)=加m 0x≠0 x>0△x|∞x=0 p(r)ax=1 总质量m=1,集中在ⅹ=0处

§4 格林函数 4.1.2  函数 §4.1 点源函数法回顾

§41点源函数法回顾 §4格林函数 0x≠0 6(x)= 2、定义 0 O函数 6(x)dx=1 更普遍的定义为 0x≠x δ(x-x0) Oox= x 一般: ∫6(x-x)女x=1

§4 格林函数 0 0 ( ) 0 x x x    =    =  ( ) 1 x dx  − =  2、定义 ——  函数 更普遍的定义为 §4.1 点源函数法回顾

§41点源函数法回顾 §4格林函数 结合上面实例δ-密度函数 若在x=xo点放有m质量,总质量m 则p(x)=mo(x-x0) 同样若在x=x有电量q的点电荷, 其总电量为q,则p(x)=q6(x-x0) 二、性质设f(x)在(-∞,∞)连续,则 1、|f(x)6(x-x0)x=f(x0) f(x)6(x)=f(0

§4.1 点源函数法回顾 §4 格林函数