《量子力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 波函数和Schrodinger方程

波函数 g Schrodinger方程 §1浪函数的统计解释 ●§2态叠加原理 53力学量的平均值和算符的引进 54 Schrodinger方程 55粒子流密度和粒子数守恒定律 §6定态 Schrodinger方程

第二章 波函数 和 Schrodinger 方程 ⚫ §1 波函数的统计解释 ⚫ §2 态叠加原理 ⚫ §3 力学量的平均值和算符的引进 ⚫ §4 Schrodinger 方程 ⚫ §5 粒子流密度和粒子数守恒定律 ⚫ §6 定态Schrodinger方程

§1波函数的统计解释 (一)波函数 (二)波函数的解释 (三)波函数的性质

§1 波函数的统计解释 （一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质

描写自由粒子的 (一)波函数 平面波 平=Aex2(p·r-Er) 称为 de broglie波。此式称为自由粒子的波函数。 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动,他的动量和能 量不再是常量〔或不同时为常量)粒子的状态就不能用平面浪 描写,而必须用较复杂的浪描写,一般记为: 描写粒子状态的 per, t) 波函数,它通常 是一个复函数。 3个向题? (1)v是怎样描述粒子的状态呢? (2)y如何体现波粒二象性的? (3)y描写的是什么样的波呢?

• 3个问题？ 描写自由粒子的 平 面 波 (r,t)   •如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为： 描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。 称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。 (1)  是怎样描述粒子的状态呢？ (2)  如何体现波粒二象性的？ (3)  描写的是什么样的波呢？ （一）波函数        = exp ( p• r − Et) i A   

P ( 电子源 Q 两种错误的看法 感光屏一 1.波由粒子组成 如水浪,声波,由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的,它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔,但只要时间足够长,底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的浪动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象,单个电子就具有浪动性。 事实上,正是由于单个电子具有浪动性,才能理解氢原子(只 含一个电子!)中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量 子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面,而抹杀了粒子的 波动性的一面,具有片面性

电子源 感 光 两种错误的看法 屏 1. 波由粒子组成 如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 P P O Q Q O 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只 含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量 子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的 波动性的一面，具有片面性

2.粒子由浪组成 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构,是三维空间中连 续分布的某种物质浪包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大 小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度。 什么是浪包?波包是各种波数(长)平面波的迭加 平面波描写自由粒子,其特点是充满整个空间,这是因为平面浪 振幅与位置无关。如果粒子由浪组成,那么自由粒子将充满整个空间, 这是没有意义的,与实验事实相矛盾。 ·实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。例如在一个原子内,其 广延不会超过原子大小≈1A。 电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是浪? 电子既不是粒子 也不是波”,既不是经典的粒子也不是经典的浪,但是我们也可以说, “电子既是粒子也是浪,它是粒子和浪动二重性矛盾的统一。 这个波不再是经典概念的浪,粒子也不是经典概念中的粒子

2. 粒子由波组成 ⚫ 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连 续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大 小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 ⚫ 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 ⚫ 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其 广延不会超过原子大小≈1 Å 。 ⚫ 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子 也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说， “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子

(二)波函数的解释 经典概念中1有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性 粒子意味着 有确定的运动轨道,每一时刻有一定 位置和速度。 经典概念中实在的物理量的空间分布作周期性的变化 波意味着2干涉、衍射现象,即相干叠加性 我们再看一下电子的衍射实验 1入射电子流强度小,开始显示电子的微粒性,长时间亦显示衍射图样 2.入射电子流强度大,很快显示衍射图样 P 电子源 0感光

经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。 经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; Q Q O P P 我们再看一下电子的衍射实验 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样. 电子源 感 光 屏 （二）波函数的解释

结论:衍射实验所揭示的电子的波动性是: 许多电子在同一个实验中的统计结果,或者是一个电子 在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的,在此基 础上,Bomn提出了浪函数意义的统计解释。 在电子衍射实验中,照相底片上 点附近衍射花样的强度 该点附近感光点的数目, 正比于该点附近出现的电子数目, ~正比于电子出现在r点附近的几

r 点附近衍射花样的强度  正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。 ⚫ 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子 在许多次相同实验中的统计结果。 ⚫ 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。 在电子衍射实验中，照相底片上

假设衍射浪浪幅用ψ(r)描述,与光学相似 衍射花纹的强度则用ψ(r)2描述,但意义与经典波 不同。 四(r)|2的意义是代表电子出现在r点附近几率的 大小,确切的说,|W〔r)2ΔxyΔz表示在r点处 体积元△x△y△z中找到粒子的几率。浪函数在空间某 点的强度(振幅绝对值的平方)和在这点找到粒子的 几率成比例, 据此,描写粒子的波可以认为是几率波,反映微观 客体运动的一种统计规律性,波函数(r)有时也称为 几率幅。 这就是首先由Born提出的波函数的几率解释,它 是量子力学的基本原理

据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观 客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为 几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它 是量子力学的基本原理。 假设衍射波波幅用 Ψ(r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ(r)|2 描述，但意义与经典波 不同。 |Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的 大小，确切的说，|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处， 体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。波函数在空间某 点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的 几率成比例

(三)波函数的性质 (1)几率和几率密度 根据浪函数的几率解释,波函数有如下重要性质: 在时刻,r点,dτ= dxdydz体积内,找到由波函数ψ(rt) 描写的粒子的几率是:dW(rt=c(rυ)2d, 其中,C是比例系数。 在t时刻r点,单位体积内找到粒子的几率是 Mr t)=(dw(r, t)/dt]=c(r, t) 称为几率密度。 在体积V内,t时刻找到粒子的几率为: W(t=dW= yur t)dt= cyw(rt)2 dt

（三）波函数的性质 在t时刻，r点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t) 描写的粒子的几率是：d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系数。 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： （1）几率和几率密度 在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是： w( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 称为几率密度。 在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vw( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ

(2)平方可积 由于粒子在空间总要出现(不讨论粒子产生和湮灭 情况),所以在全空间找到粒子的几率应为一,即: C∫(r,t)}2d=1, 从而但堂数 c之值为: 这即是要求描写粒子量子 状态的浪函数平必须是绝 C=1/js|W(r,t)2dτ 对值平方可积的函数。 J。四(r,t)dτ→∞,则C→0, 这是没有意义的。 注意:自由粒子波函数(,1)=Aex(F-Et 不满足这一要求。关于自由粒子浪函数如何归一化问题, 以后再予以讨论

（2） 平方可积 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭 情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ 这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。 若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ → ∞, 则 C → 0, 这是没有意义的。       ( , ) = exp ( p• r − Et) i r t A     注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题， 以后再予以讨论